Sujet : Algèbre linéaire, Etude d'intersections d'hyperplans vectoriels

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels de dimension finie

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Etude d’intersections d’hyperplans vectoriels

Soitun corps etun-espace vectoriel de dimension∈ℕ∗.

1.

1.a
1.b

2.a

2.b

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

Partie I Description d’un sous-espace vectoriel en intersection d’hyperplans

Soitetdeux hyperplans de.
On suppose≠. Justifier+=.
Déterminer∩selon que=ou non.
Soitun hyperplan deetun sous-espace vectoriel de.
Déterminer∩selon que⊂ou non.
Soit∈ℕ∗et1,…,des hyperplans de.
Montrer que dim(1∩…∩)≥−.
Soitun sous-espace vectoriel de, distincts de. On pose=.
On se propose d’établir quepeut s’écrire comme intersection de−hyperplans.
Dans un premier temps on suppose≠ {}.
Montrer qu’il existe une base=(1,…,) detelle que∀≤≤∈.
On pose, pour tout∈ {+1,…,},=Vect(1,…,−1,+1,…,) .
Montrer que lessont des hyperplans de.
Observer que=+1∩…∩.
On suppose maintenant que= {}.
Montrer que hyperplans.peut s’écrire comme intersection de

Partie II Décomposition d’un drapeau en interseciton d’hyperplans

On considère un drapeau de, c’est à dire une famille (0,1,…, sous-espaces vectoriels de) detelle
que :

1.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

(i)∀≤≤ =,
(ii)∀≤≤−⊂.
Préciseret.

Justifier que, pour tout∈ {1,…,},∃∈tel que∉−.
Montrer que=(1,…,) est une base de.
Observer que∀≤≤,=Vect(1,…,) .

Montrer que, pour tout∈ {1,…,}, il existe un hyperplan denoté
=
Observer qu’alors, pour tout∈ {1,…,}:−∩∩.

tel que :−=∩

.