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Sujet : Algèbre linéaire, Matrices semblables à leur inverse

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Matrices semblables à leur inverse

Dans tout le problème,est unℝ-espace vectoriel de dimension 3.
Pourendomorphisme deetentier naturel non nul, on note=…(termes) et on convient
de poser0=Id où Id désigne l’endomorphisme identité de.
On note3(ℝ) leℝ-espace vectoriel des matrices réelles carrées d’ordre 3,3(ℝ groupe des matrices) le
inversibles de3(ℝ) etla matrice unité de3(ℝ) .
On note aussi par 0, l’endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matricesetde3(ℝ) , on dit que la matriceest semblable à la matricelorsqu’il existe
une matricede3(ℝ que :) telle=−1.
On rappelle que siet′désignent deux bases de,la matrice de passage deà′etun
endomorphisme dede matricedans la base′et de matricedans la basealors=−1.
Par suite la matriceest semblable à la matrice.

Partie I

Soit,,trois matrices de3(ℝ) .
1. Montrer que siest semblable àalorsest semblable à.
Désormais, on pourra alors dire que les matricesetsont semblables.
2. Montrer que si d’une partetsont semblables et que d’autre partetle sont aussi alorset
sont semblables.
3. Montrer que sietsont semblables alors elles ont même rang et même déterminant.

Partie II

Soitun endomorphisme deet=2−.
1. Soit,deux entiers naturels et kerl’application linéaire de+versdéfinie par()=() .
1.a Montrer que Im⊂ker.
1.b En déduire que dim ker+≤dim ker+dim ker.
2. Dans cette question, on suppose que3=0 et rg=2 .
2.a Etablir que dim ker2=2 . On pourra exploiter deux fois le résultat de la question II.1.b.
2.b Justifier qu’il existe un vecteurdetel que2()≠ observer que la famille0 et (2(),(),) est
une base de.
2.c Ecrire la matricedeet la matricededans cette base.
3. Dans cette question, on suppose que2=0 et rg1 .
=
3.a Montrer que l’on peut trouver un vecteurdetel que()≠0 .
3.b Justifier l’existence d’un vecteurde ker (tel que la famille(),) soit libre, puis montrer que la
famille ((),, une base de) est.
3.c Ecrire alors la matrice′deet la matrice′dedans cette base.

1
Soit=0
0

α
1
0

Partie III

β
γ∈3(ℝ) . On se propose de montrer queest semblable à son inverse−1.
1

0
On pose=−3=0
0

1.a

1.b

2.

2.a

2.b

2.c
3.

α
0
0

β
γet=2−.
0

Calculer3 rget justifier que≤2 .

Justifier queest inversible et que−1=3+.
Dans cette question, on suppose que rg2 .
=

0 1
En exploitant II.2., montrer que la matriceest semblable à la matrice=0 0
0 0
En exploitant II.2.c, dire à quelle matrice « simple » la matriceest semblable.
En déduire3et rg.

0
1 .
0

Montrer que les matricesetsont semblables et conclure queet−1le sont.
Dans cette question, on suppose que rg≤1 . Montrer queet−1sont encore semblables.