Sujet : Algèbre linéaire, Matrices semblables à leur inverse
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Matrices semblables à leur inverse
Dans tout le problème,est unℝ-espace vectoriel de dimension 3.
Pourendomorphisme deetentier naturel non nul, on note=…(termes) et on convient
de poser0=Id où Id désigne l’endomorphisme identité de.
On note3(ℝ) leℝ-espace vectoriel des matrices réelles carrées d’ordre 3,3(ℝ groupe des matrices) le
inversibles de3(ℝ) etla matrice unité de3(ℝ) .
On note aussi par 0, l’endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matricesetde3(ℝ) , on dit que la matriceest semblable à la matricelorsqu’il existe
une matricede3(ℝ que :) telle=−1.
On rappelle que siet′désignent deux bases de,la matrice de passage deà′etun
endomorphisme dede matricedans la base′et de matricedans la basealors=−1.
Par suite la matriceest semblable à la matrice.
Partie I
Soit,,trois matrices de3(ℝ) .
1. Montrer que siest semblable àalorsest semblable à.
Désormais, on pourra alors dire que les matricesetsont semblables.
2. Montrer que si d’une partetsont semblables et que d’autre partetle sont aussi alorset
sont semblables.
3. Montrer que sietsont semblables alors elles ont même rang et même déterminant.
Partie II
Soitun endomorphisme deet=2−.
1. Soit,deux entiers naturels et kerl’application linéaire de+versdéfinie par()=() .
1.a Montrer que Im⊂ker.
1.b En déduire que dim ker+≤dim ker+dim ker.
2. Dans cette question, on suppose que3=0 et rg=2 .
2.a Etablir que dim ker2=2 . On pourra exploiter deux fois le résultat de la question II.1.b.
2.b Justifier qu’il existe un vecteurdetel que2()≠ observer que la famille0 et (2(),(),) est
une base de.
2.c Ecrire la matricedeet la matricededans cette base.
3. Dans cette question, on suppose que2=0 et rg1 .
=
3.a Montrer que l’on peut trouver un vecteurdetel que()≠0 .
3.b Justifier l’existence d’un vecteurde ker (tel que la famille(),) soit libre, puis montrer que la
famille ((),, une base de) est.
3.c Ecrire alors la matrice′deet la matrice′dedans cette base.
1
Soit=0
0
α
1
0
Partie III
β
γ∈3(ℝ) . On se propose de montrer queest semblable à son inverse−1.
1
0
On pose=−3=0
0
1.a
1.b
2.
2.a
2.b
2.c
3.
α
0
0
β
γet=2−.
0
Calculer3 rget justifier que≤2 .
Justifier queest inversible et que−1=3+.
Dans cette question, on suppose que rg2 .
=
0 1
En exploitant II.2., montrer que la matriceest semblable à la matrice=0 0
0 0
En exploitant II.2.c, dire à quelle matrice « simple » la matriceest semblable.
En déduire3et rg.
0
1 .
0
Montrer que les matricesetsont semblables et conclure queet−1le sont.
Dans cette question, on suppose que rg≤1 . Montrer queet−1sont encore semblables.
