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Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes de Tchebychev et approximation uniforme

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Langue Français

Exrait

Polynômede Tchebychevet approximation uniforme

On noteℝl’espace des polynômes réels en l’indéterminée. On noteℝle sous-espace vectoriel
formé des polynômes de degré inférieur à∈ℕ.
On identifiera polynôme et fonction polynomiale définie sur−1,1 .
On rappelle que toute fonction réellecontinue sur−car continue sur un segment, on convient bornée 1,1 est
alors de noter=sup( l’existence dans) dontℝest assurée par l’argument précédent.
∈[−1,1]

Partie I

Pour∈ℕ, on considère:−1,1→ℝdéfinie par :

1.a

1.b

1.c

()=cos(arccos)
Simplifier0(),1(),2() et3() .
Représenter sur un même graphique ces applications.
Démontrer que pour tout entier naturelnon nul et tout∈ −1,1 :
+1()=2()−−1()
En déduire qu’il existe un unique polynômedeℝtel que :
∀∈ −1,1 ,()=()

Calculer0,1,2,3et4.
2.a Quel est le degré de?
Quel est son coefficient dominant ?

2.b Déterminer les racines dequi appartiennent à 1,1 .
Combien y en a-t-il ?
Comment justifier que celles-ci sont simples et qu’il n’y en a pas d’autres ?
2.c Etudier la parité du polynômeen fonction de la parité de l’entier.
3.a Montrer :∀θ∈ℝ,(cosθ)=cos(θ) et∀θ∈ℝ,(chθ)=ch(θ) .
3.b En déduire que∀∈ℝ:≤1⇔()≤1 .
On suppose désormais queest un entier naturel non nul.
4. Résoudre dansℝl’équation()=1 . On précisera le nombre de racines distinctes et la position
relative des racines des équations()=1 et()= −1 .
ɶ1
5. On pose=2−1et on notel’ensemble des polynômes unitaires deℝde degré exactement
ɶ
égal à. Il est entendu que∈.
ɶ
5.a Calculer.
ɶ ɶ
On désire établir queest un polynôme detel que la quantitésoit minimale. Pour cela on
ɶ
raisonne par l’absurde : supposons qu’il existepolynôme appartenant àtel que<.
ɶ
5.b On pose=−. Que dire du degré de?
cosπ {0,1, ,}
5.c Etudier le signe de pour∈…et conclure.

Partie II

Soitun entier naturel non nul et0,1,…,des points deux à deux distincts du segment−1,1 . On pose
 

pour tout∈ {0,1,…,}:=∏.
−
=0
≠ 
1.a Quel est le degré de?

1.b

1.c

2.


Calculer( tout) pour∈ {0,1…,}, .
Calculer aussi() .
Montrer que la famille ()0≤≤forme une base deℝ

.

On se donne une fonction réelledéfinie sur−1,1 , et on pose :


=∑()
=0
Montrer queest l’unique polynôme deℝtel que pour tout∈ {0,1,…,}:()=() . On
dit queest le polynôme interpolateur de la fonctionaux points0,1,…,.
On désire maintenant évaluer la qualité de l’approximation réalisée lorsqu’on approche la fonctionpar le
polynômedéfini ci-dessus. Pour cela on suppose queest une fonction de classe+1et on pose

Π+1=∏(−) .
=0
3. Soit∈ − On désire établir l’existence d’un1,1 .ξ∈ −1,1 tel que :

3.a

3.b

3.c

4.

()−()=(Π++1(1)!)(+1)(ξ)

On suppose∈ {0,…,}. Etablir le résultat.

On suppose∉ {0,…,}et on introduit la fonctiondéfinie par :
()=()−()−Π+1()

avecconstante réelle choisie de sorte que()=0 .
Justifier l’existence de la constanteet observer quepossède au moins+2 valeurs d’annulation
distinctes. En déduire l’existence d’unξ∈ − que1,1 tel(+1)(ξ)=0 et conclure.

En déduire que−≤(Π++11)!(+1).

Comment doit-on choisir les points0,1,…,pour que

Π+1

soit minimale ?