Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes factoriels
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Exrait

Polynômes factoriels

On noteℝlaℝalgèbre des polynômes réels en l’indéterminée.
Pour∈ℕ,ℝdésigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à.
Pour tout polynôme∈ℝon pose()=(+1)−() .

Partie I

1.a Montrer queest un endomorphisme deℝ.
1.b On suppose queest un polynôme constant, préciser() .
On suppose que deg≥ déterminer deg(1 ,()) .
2. Soit∈ℕ∗. On notela restriction deau départ deℝ

2.a
2.b

2.c

3.a
3.b

Rq :
3.c

3.d

.

Justifier queest un endomorphisme deℝ.
Déterminer le noyau de.
Déterminer le rang puis l’image de.
Déduire de la question précédente que l’endomorphismeest surjectif.
Justifier :∀∈ℝ,∃!∈ℝtel que()=et(0)=0 .
On définit alors une application∇:ℝ→ℝen posant∇()=.
Le symbole∇se lit « nabla »
Montrer que∇est un endomorphisme deℝ.

Observer que∀∈ℝ[],∀∈ℕ,∑()= ∇()(+1)
=0

Partie II

On pose :
0=1 ,1=,2=(2!−, ,)1=(−1)...!(−+1)=!1∏=−10(−) pour∈ℕ.
On définit par récurrencepour∈ℕ, en posant0= pour toutId puis∈ℕ,+1= .

1.a
1.b
1.c

2.a

2.b

2.c
3.
3.a

3.b

Calculer(0) et() en fonction de−1pour tout∈ℕ∗.
Pour,∈ℕ. Exprimer() selon que≤ou>.
Enfin, exprimer()(0) en discutant selon les valeurs de,∈ℕ.
Justifier que la famille=(0,1,…,) est une base deℝ.

En déduire que∀∈ℝ[],=∑()(0).
=0
Exprimer alors∇( fonction des) en()(0) et des.
Application :
Déterminer, sous forme factorisée∇(3) .

En déduire l’expression de∑3.
=0