Sujet : Algèbre linéaire, Polynômes orthogonaux

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Polynômes. Espaces euclidiens.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Polynômes orthogonaux

Dans tout le problème,désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2

Partie I

.

On notel’endomorphisme identité deℝ.
Soitϕl’application qui à∈ℝassocie le polynôme
ϕ()=((2−1))=′′(2−1)+′′4+′2.
1.a Montrer queϕest un endomorphisme deℝ.
1.b Former la matrice représentative deϕdans la base canonique=(1,,…,) deℝ
2.a Soitλ∈ℝ.
Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes :
(i) l’équationϕ()=λ.possède un polynôme unitaire solution,
(ii) ker(ϕ−λ.)≠ {0}
(iii) det(ϕ−λ.)=0 .
2.b Soit∈ {0,1,…,}. Justifier que l’équationϕ()=(+1)(+2)possède un polynôme unitaire
solution, que celui-ci est unique et qu’il est de degré.
Ce polynôme sera noté.
2.c Justifier que la famille (0,1,…, une base de) estℝ.
3.a Déterminer0et1.
3.b Déterminer les coefficients de−1et de−2danslorsque∈ {2,…,}.

Partie II

On notel’ensemble des fonctions réelles définies et continues sur le segment−1,1 .
Pour,∈, on pose :

ψ(,)=1()()(1−2)d.
−1
On identifiera le polynômeavec la fonction polynomiale֏( sur) définie−1,1 .
1.a Montrer queψest un produit scalaire sur.
On munit (de ce produit scalaire et on note désormais|) le produit scalaire des élémentset.
1.b Observer que∀,∈ℝon a (|)=(|) .
2. Pour∈de classe2, on poseφ()=((2−1)())=′′(2−1)′′()+4′()+2() .
2.a Montrer que si,∈sont de classe2alors (φ() |)=(|φ()) .
2.b Montrer que pour la suite de polynômes0,1,..., définis dans la partie I, on a la propriété :
∀(,ℓ)∈ {0,1,...,},≠ℓ⇒(|ℓ)=0 .
2.c Soit∈ {0,1,...,}et∈ℝ.
Etablir l’implication deg<⇒(|)=0 .
3. Soit∈ {2,...,}.
3.a Montrer que le polynôme−−1est de degré au plus−1 et qu’il est orthogonal a tout polynôme
de degré inférieur ou égal à−3
.
et de.
3.b En déduire que−−1peut s’écrire comme combinaison linéaire de−1 −2

3.c

3.d

4.

4.a

4.b

4.c

En utilisant I.3.b, établir=−1−(

Calculer2et3.

Soit∈ {0,...,}

(−1)(+1)
2−1)(2+1)−.

Montrer que (|)=(|) .
En calculant de deux manières (ϕ(ℓ) |ℓ+2) exprimer (ℓ|ℓ+2 fonction de) en (ℓ|ℓ) .
 .
Former une relation permettant, pour≥ (2 , de calculer|) à partir de (−1|−1) et (−2|−2)