Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Commutation de matrices

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Commutation de matrices Exercice 1 [ 00697 ] [correction] On suppose que A,B∈M (K) commutent et que A est inversible.n −1Justifier que les matrices A et B commutent. Exercice 2 [ 00709 ] [correction] a) Quelles sont les matrices deM (K) commutant avec toutes les matrices den M (K)?n b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GL (K).n Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02689 ] [correction] ?Soient n∈N , α ,...,α des complexes distincts, A = diag(α ,...,α ) et1 n 1 n C(A) ={M∈M (C),AM =MA}n kMontrer que (A ) est une base de C(A).06k6n−1 Exercice 4 [ 03144 ] [correction] Soit n∈N avec n> 2. a) Montrer que {A∈M (R)/∀M∈ GL (R),AM =MA} ={λI /λ∈R}n n n b) Soit A∈M (R). On suppose quen ∀M,N∈M (R),A =MN⇒A =NMn Montrer qu’il existe λ∈R tel que A =λIn Exercice 5 Centrale MP [ 03164 ] [correction] Soit T∈M (R) une matrice triangulaire supérieure.n Montrer que T commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice T est diagonale. Exercice 6 [ 03166 ] [correction] Soit n> 2. Déterminer les matrices deM (K) commutant avec toutes lesn matrices symétriques. Exercice 7 [ 03167 ] [correction] Soit n> 2. Déterminer les matrices deM (K) commutant avec toutes lesn matrices antisymétriques. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 32
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Commutation de matrices

Exercice 1 [ 00697 ] [correction] On suppose queA B∈ M n (K)commutent et queAest inversible. Justifier que les matricesA −1 etBcommutent.

Exercice 2 [ 00709 ] [correction] a) Quelles sont les matrices deM n (K)commutant avec toutes les matrices de M n (K)? b) Mme question aves les matrices commutant avec toutes celles de GL n (K).

Exercice 3Mines-Ponts MP [ 02689 ] [correction] Soientn∈N ? ,α 1      α n des complexes distincts,A=diag(α 1      α n )et C(A) ={M∈ M n (C) AM=M A} Montrer que(A k ) 06k6n−1 est une base deC(A).

Exercice 4 [ 03144 ] [correction] Soitn∈Navecn>2. a) Montrer que

{A∈ M n (R)∀M∈GL n (R) AM=M A}={λI n λ∈R} b) SoitA∈ M n (R). On suppose que ∀M N∈ M n (R) A=M N⇒A=N M Montrer qu’il existeλ∈Rtel queA=λI n

Exercice 5Centrale MP [ 03164 ] [correction] SoitT∈ M n (R)une matrice triangulaire supérieure. Montrer queTcommute avec sa transposée si, et seulement si, la matriceT diagonale.

Exercice 6 [ 03166 ] [correction] Soitn>2. Déterminer les matrices deM n (K)commutant avec toutes les matrices symétriques.

Exercice 7 [ 03167 ] [correction] Soitn>2. Déterminer les matrices deM n (K)commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

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Enoncés

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