Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Déterminant par blocs

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Déterminant par blocs Exercice 6 Centrale PC [ 00198 ] [correction] Soient B∈M (R) etn I BnExercice 1 [ 03129 ] [correction] A = ∈M (R)2nB InSoient A,B,C,D∈M (K). On suppose que D est inversible et que C et Dn commutent. Etablir a) A quelle condition la matrice A est-elle inversible? A B b) Donner son inverse quand cela est possible.det = det(AD−BC) C D Exercice 7 [ 00713 ] [correction]Exercice 2 [ 03130 ] [correction] On considère une matrice M∈M (K) inversible écrite sous la formenSoient A,B,C,D∈M (K) avec D inversible. Etablirn A BA B −1 M =det = det(AD−BD CD) C DC D avec A∈M (K) et D∈M (K).p n−p Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02694 ] [correction] On écrit la comatrice de M sous une forme analogue Soient A,B,C,D∈M (K) avec AC =CA. Montrer quen 0 0A B comM = 0 0A C C Ddet = det(DA−BC) B D 0 0avec A ∈M (K) et D ∈M (K).p n−p Vérifier Exercice 4 Centrale MP [ 02387 ] [correction] 0 p−1 detA = det(M) detD a) Soient A,B∈M (R). Montrer quen A B det > 0 Exercice 8 [ 03147 ] [correction]−B A Soient A,B,C,D∈M (R).n 2 2 tb) Soient A,B∈M (R) telles que AB =BA. Montrer que det(A +B )> 0.n a) On suppose C D symétrique et D inversible. Montrer que c) Trouver un contre-exemple à b) si A et B ne commutent pas. A Bd) Soient A,B,C,D∈M (R) telles que AC =CA.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Nombre de lectures: 178
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Déterminant par blocs

Exercice 1[ 03129 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K). On suppose queDest inversible et queCetD
commutent. Etablir
detA B= det(AD−BC)
C D

Exercice 2[ 03130 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K)avecDinversible. Etablir
detBADC= det(AD−BD−1CD)

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02694 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(K)avecAC=CA. Montrer que
detDBCA= det(DA−BC)

Exercice 4Centrale MP[ 02387 ][correction]
a) SoientA B∈ Mn(R). Montrer que
det−ABAB

>0

b) SoientA B∈ Mn(R)telles queAB=BA. Montrer quedet(A2+B2)>0.
c) Trouver un contre-exemple à b) siAetBne commutent pas.
d) SoientA B C D∈ Mn(R)telles queAC=CA. Montrer que
detBADC= det(AD−CB)

Exercice 5[ 01424 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R).
a) Montrer
A B= det(A B) det(A−B)
B A+
b) Justifier
A−B



B A>0


Enoncés

Exercice 6Centrale PC[ 00198 ][correction]
SoientB∈ Mn(R)et
A=IBnBIn∈ M2n(R)
a) A quelle condition la matriceA ?est-elle inversible
b) Donner son inverse quand cela est possible.

Exercice 7[ 00713 ][correction]
On considère une matriceM∈ Mn(K)inversible écrite sous la forme
B
M=ACD

avecA∈ Mp(K)etD∈ Mn−p(K).
On écrit la comatrice deMsous une forme analogue
comMAC00BD00
=

avecA0∈ Mp(K)etD0∈ Mn−p(K).
Vérifier
detA0= det(M)p−1detD

Exercice 8[ 03147 ][correction]
SoientA B C D∈ Mn(R).
a) On supposeCtDsymétrique etDinversible. Montrer que
detDCBA= detAtD−BtC

b) On suppose toujoursCtDsymétrique mais on ne suppose plusDinversible.
Montrer que l’égalité précédente reste vraie.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03288 ][correction]
SoientA B C Ddes matrices carrées d’ordren, réelles et commutant deux à
deux. Montrer la matrice
M=DCBA
est inversible si, et seulement si,AD−BCl’est.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
CDAB −CDIOnn=ADO−nDCBB
et en passant au déterminant, on obtient
detBADCdetD= det(AD−BC) detD

On peut alors conclure sachantdetD6= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
On a
DCBA −IDn−1OCInn=A−BOnD−1DBC
et en passant au déterminant, on obtient
detDCBA= det(A−BD−1C) detD= det(AD−BD−1CD)

Exercice 3 :[énoncé]
SupposonsAinversible.
Par opérations par blocs :
ADBC 0I−IA−1C=ABD−B0A−1C
OrA−1etCcommutent donc
A C= detA×det(D−BCA−1) = det(DA−BC)
B D

SupposonsAnon inversible.
Pourpassez grand,Ap=A+1pIest inversible et commute avecCdonc
ApC
detB D= det(DAp−BC)

puis à la limite quandp→+∞,
detBA

CDdet(DA−BC)
=

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a) En multipliant lesndernières lignes pariet lesndernières colonnes aussi :
det−BABA= (−1)ndet−iABi−BA

puis par opérations sur les lignes
det−ABAB= (−1)ndetA−BiA−Ai+BiB

et par opérations sur les colonnes
det−BABA= (−1)ndet

On en déduit
det−A B
B A

et enfin

iB i
A0+−BA+iB

= (−1)ndet(A+iB) det(−A+iB)

det−BABA= det(A+iB) det(A−iB)

Les matricesAetBréelles, cette écriture est de la formeétant zz¯ =|z|2>0.
b)det(A+iB) det(A−iB) = det(A2+B2)carAetBcommutent donc
det(A2+B2)>0.
c)A=1201etB=0112par exemple.
d) SiAest inversible, on remarque
−ACI−1IO BACD=A0−CA−1BB+D
doncdetDACB= det(A) det(−CA−1B+D) = det(AD−CB)carAetC
commutent.
On étend cette égalité aux matrices non inversibles par densité :
Les applicationsA7→detBCDAetA7→det(AD−CB)sont continues et
coïncident sur l’ensemble des matrices inversibles commutant avecC. Or cet
ensemble est dense dans l’ensemble des matrices commutant avecC: siA
commute avecCalors pour toutλ >0assez petitA+λInest inversible et
commute avecC). Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense,
les deux applications sont égales.

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Exercice 5 :[énoncé]
a) Par opération sur les colonnes puis sur les lignes

A B A+B B A+B B
= =
B A A+B A 0A−B

b) De façon analogue



AB−BA=AB−+iBiA−BA=A−0BiA−+BiB=|A+iB|2>0

Exercice 6 :[énoncé]
a) Par les opérationsLn+1←Ln+1+L1     L2n=L2n+Ln,

detA=IB+nInInB+B
 

Par les opérationsC1←C1−Cn+1     Cn←Cn−C2n,

detA=InO−nBInB+B= det(In−B) det(In+B)
 

AinsiAest inversible si, et seulement si,In−BetIn+Ble sont (i.e.
1−1∈SpB).
On aurait aussi pu étudier le noyau deA.
b) On peut présumer que l’inverse deAest alors de la forme
NMMN

Puisque
BInIBn MNNM=MBM++NNNBNB++MBM
et puisque
(MBM++NBN==IOn(MN==−BIn−InB2−B−21−1
⇔
n
on obtient
A−1=−(BI(nIn−−B2B)2−)1−1−(BI(nIn−−B2B)2−)1−1
On aurait pu aussi inverser l’équationAX=Y

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
On introduit

On a

Or

N=ttAB00OIpnn−p−p
M N=ACttAA00++DBttBB00BD

Mt(comM) =CAttAA00++DBttBB00ACttCC00++BDttDD00= (detM)nIp

donc
M N=deOtn(−Mp)pIpDB
En passant cette relation au déterminant, on obtient

detM×dettA0= det(M)pdetD

puis facilement la relation proposée sachantdetM6= 0.

Exercice 8 :[énoncé]
a) CasDinversible
SachantCtD=DtC, on a
CDAB −ttOCIDnn=AtOD−nBtC

B
D

et en passant au déterminant on obtient la relation
detDACBdtetD= detAtD−BtCdetD



3

puis la relation voulue sachantdetD= dettD6= 0
b) CasDnon inversible
Posonsr=rgC. On peut écrireC=P JrQavecP Qinversibles etJrla matrice
(symétrique) dont tous les coefficients sont nuls sauf lesrpremiers de la diagonale
qui sont égaux à 1. Considérons alorsD0=D+λPtQ−1pourλ∈R.
On peut écrire
D0=PP−1DtQ+λIntQ−1
Si−λn’est pas valeur propre deP−1DtQ, la matriceD0est inversible.
Puisqu’une matrice n’a qu’un nombre fini de valeurs propres, la matriceD0est
assurément inversible quandλ→0+avecλassez petit.

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De plus,CtD0est symétrique car

CtD0−D0tC=CtD+λP JrQQ−1tP−DtC−λPtQ−1tQtJrtP= 0

Par l’étude qui précède, on obtient
detA B= detAtD0−BtC
C D0

et en passant à la limite quandλ→0+, on obtient
detABCD= detAtD−BtC

Exercice 9 :[énoncé]
Cas où la matriceAinversible :
Pour
P=OInn
on a
M P=CA−

On en