Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Principe de récurrence

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Principe de récurrence Exercice 6 [ 02060 ] [correction] Le raisonnement suivant est erroné : ?Montrons, par récurrence sur n∈N , la propriété :Exercice 1 [ 02056 ] [correction] P(n) = n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.Soit (u ) une suite réelle telle quen Pour n = 1 et n = 2, la propriété est vraie. Supposons la propriété établie au rang n> 2.1 u = 1 et∀n∈N,u = 1 + u0 n+1 n Considérons alors n + 1 points deux à deux distincts A ,A ,...,A ,A .1 2 n n+1n + 1 (HR) Les points A ,A ,...,A sont alignés sur une droiteD.1 2 n 0(HR) Les points A ,...,A ,A sont alignés sur une droiteD .2 n n+1Donner l’expression du terme général u de cette suite.n 0 0OrD etD contiennent les deux points distincts A et A , doncD =D .2 n 0Par suite A ,A ,...,A ,A sont alignés sur la droiteD =D .1 2 n n+1 Récurrence établie. Exercice 2 [ 02057 ] [correction] Où est l’erreur? Soit (u ) la suite réelle déterminée parn u = 2,u = 3 et∀n∈N,u = 3u − 2u0 1 n+2 n+1 n Exercice 7 [ 02061 ] [correction] On se propose d’établir Montrer n ? 2 p∀n∈N,u = 2 + 1n ∀n∈N ,∃(p,q)∈N , n = 2 (2q + 1) en procédant de deux manières : ? ma) 1ère méthode : Pour n∈N fixé, on pose A ={m∈N/2 |n}. Exercice 3 [ 01274 ] [correction] Montrer que A admet un plus grand élément p et que pour celui-ci on peut écrire a) Soit x∈R tel que x + 1/x∈Z. pn = 2 (2q + 1) avec q∈N. Montrer que pour tout n∈N, ?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Principe de récurrence

Exercice 1[ 02056 ][correction]
Soit(un)une suite réelle telle que
u0= 1et∀n∈N un+1=1 +n1+1un

Donner l’expression du terme généralunde cette suite.

Exercice 2[ 02057 ][correction]
Soit(un)la suite réelle déterminée par

Montrer

u0= 2 u1= 3et∀n∈N un+2= 3un+1−2un

∀n∈N un= 2n+ 1

Exercice 3[ 01274 ][correction]
a) Soitx∈Rtel quex+ 1x∈Z.
Montrer que pour toutn∈N,
xn+ 1∈Z
xn
b) Déterminer un réelxnon entier vérifiant la propriétéx+ 1x∈Z.

Exercice 4[ 02058 ][correction]
Montrer que
1 1 3n
∀n∈N {01} 21 +2+∙ ∙ ∙+n2>2n+ 1

Exercice 5[ 02059 ][correction]
Montrer que
∀n∈N?1!3!  (2n+ 1)!>((n+ 1)!)n+1

Enoncés

1

Exercice 6[ 02060 ][correction]
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence surn∈N?, la propriété :
P(n)=npoints deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pourn= 1etn= 2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rangn>2.
Considérons alorsn+ 1points deux à deux distinctsA1 A2     An An+1.
(HR) Les pointsA1 A2     Ansont alignés sur une droiteD.
(HR) Les pointsA2     An An+1sont alignés sur une droiteD0.
OrDetD0contiennent les deux points distinctsA2etAn, doncD=D0.
Par suiteA1 A2     An An+1sont alignés sur la droiteD=D0.
Récurrence établie.
Où est l’erreur ?

Exercice 7[ 02061 ][correction]
On se propose d’établir

∀n∈N?,∃(p q)∈N2,n= 2p(2q+ 1)

en procédant de deux manières :
a) 1ère méthode : Pourn∈N?fixé, on poseA={m∈N2m|n}.
Montrer queAadmet un plus grand élémentpet que pour celui-ci on peut écrire
n= 2p(2q+ 1)avecq∈N.
b) 2ème méthode : Procéder par récurrence forte surn∈N?

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
u0= 1,u1= 2,u2= 3,...
Par récurrence, on montre aisément

∀n∈N un=n+ 1

Exercice 2 :[énoncé]
Par récurrence double.
Pourn= 0etn= 1: ok
Supposons la propriété établie aux rangsnetn+ 1(avecn>0).

un+2= 3un+1−2un= 32n+1+ 3−22n−2 = 2n+2+ 1
HR

Récurrence établie

Exercice 3 :[énoncé]
a) Par récurrence double.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(par hypothèse)
Supposons la propriété vraie aux rangsnetn+ 1.
On remarque que
xn+1+xn1+1 x+x1=xn+2+xn1+2+xn+x1n

on en déduit que
xn+2+xn1+2=

xn+1+xn1+1 1 xn+x1n∈Z
x+−
x

Corrections

Récurrence établie.
b) Il suffit de choisirxsolution de l’équationx2−px+ 1 = 0avecpun entier.
Pourp= 3,Δ = 5et
3 +√5
x=
2
convient

Exercice 4 :[énoncé]
Par récurrence surn>2.
Pourn= 2ok.
Supposons la propriété établie au rangn>2.

1 3
1 +∙ ∙ ∙+n12+(n+)112H>R2n3n(+1+n+ 1)2>?2(nn3+)1+
Vérifions l’inégalité proposée :

3n1n n2+ 2
2n(++1n+ 1)2−(32n=3+(2)1+n+ 1)(n+ 1)n2(2n+ 3)>0

Récurrence établie.

Exercice 5 :[énoncé]
Par récurrence surn>1.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.

1!3!  (2n+ 1)!(2n+ 3)!>((n+ 1)!)n+1(2n+ 3)!>((n+ 2)!)n+2
HR?

Vérifions l’inégalité proposée :

((n+ 1)!)n+1(2n+ 3) 1
((n+ 2)!n+2=!(n(2!+)1n(n)2++)3!n+2((=nn()2)+(+2nn)2+3)+((2nn)3+2+)>

Récurrence établie.

Exercice 6 :[énoncé]
A l’avant dernière ligne, pour queA2etAnsoient distincts, il est nécessaire que
n>3.
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.

Exercice 7 :[énoncé]
a)Aest une partie deN, non vide carm= 0∈Aet majorée car

2m|n⇒2m6n⇒m6log2n

doncApossède un plus grand élémentp.
Puisquep∈A,2p|nce qui permet d’écriren= 2pk.

2

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Puisquep+ 1∈A,26 |ket donckest impair de la forme2q+ 1avecq∈N.
b) Pourn= 1:p=q= 0conviennent.
Supposons la propriété établie jusqu’au rangn>1.
Sin+ 1est impair alors l’écriture est directement obtenue avecp= 0et
n+ 1 = 2q+ 1.
Sin+ 1est pair alors on peut écriren+ 1 = 2kavec16k6n.
Par l’hypothèse de récurrence, on peut écrirek= 2p(2q+ 1)puis
n+ 1 = 2p+1(2q+ 1).
Récurrence établie.

Corrections

3

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