Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Division euclidienne

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Division euclidienne Exercice 1 [ 02140 ] [correction] En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante 2 2 4 3 2sur (λ,μ)∈K pour que X +2 divise X +X +λX +μX +2. Exercice 2 [ 02141 ] [correction] 2Soit (a,b)∈K tel que a =b et P∈K[X].

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Division euclidienne

Enoncés

Exercice 1[ 02140 ][correction]
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante
sur(λ µ)∈K2pour queX2+ 2diviseX4+X3+λX2+µX+ 2.

Exercice 2[ 02141 ][correction]
Soit(a b)∈K2tel quea6=betP∈K[X]. Exprimer le reste de la division
euclidienne dePpar(X−a)(X−b)en fonction deP(a)etP(b).

Exercice 3[ 02142 ][correction]
Soita∈KetP∈K[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne dePpar
(X−a)2en fonction deP(a)etP0(a).

Exercice 4X MP[ 02143 ][correction]
Soientt∈Retn∈N?.
Déterminer le reste de la division euclidienne dansR[X]de(Xcost+ sint)
X2+ 1.

Exercice 5[ 02144 ][correction]
Soitk n∈N?etrle reste de la division euclidienne dekparn.
Montrer que le reste de la division euclidienne deXkparXn−1estXr.

Exercice 6[ 03632 ][correction]
Montrer que pour touta b∈N

b
a|b⇔Xa−1|X−1

npar

Exercice 7[ 02145 ][correction]
Soientn m∈N?.
a) De la division euclidienne denparm, déduire celle deXn−1parXm−1.
b) Etablir que
pgcd(Xn−1 Xm−1) =Xpgcd(nm)−1

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
X4+X3+λX2+µX+ 2 = (X2+ 2)(X2+X+ (λ−2)) + (µ−2)X+ 6−2λ.
Le polynômeX2+ 2diviseX4+X3+λX2+µX+ 2si, et seulement si,
λ= 3 µ= 2.

Exercice 2 :[énoncé]
Cette division euclidienne s’écritP=Q(X−a)(X−b) +RavecdegR <2.
On peut écrireR=αX+β. En évaluant enaetb, on obtient un système dont la
résolution donneα=P(b)b−−Pa(a)etβ=bP(ab)−−aPa(b).

Exercice 3 :[énoncé]
Cette division euclidienne s’écritP=Q(X−a)2+RavecdegR <2.
On peut écrireR=αX+β. En évaluant enapuis en dérivant avant d’évaluer à,
nouveau ena, on obtient un système dont la résolution donneα=P0(a)et
β=P(a)−aP0(a).

Exercice 4 :[énoncé]
(Xcost+ sint)n= (X2+ 1)Q+RavecdegR <2ce qui permet d’écrire
R=aX+baveca b∈R.
Cette relation doit tre aussi vraie dansC[X]et peut donc tre évaluée eni:
(icost+ sint)n=R(i) =ai+bor(icost+ sint)n=ei(nπ2−nt)donc
a= sinn(π2−t)etb= cosn(π2−t).

Exercice 5 :[énoncé]
k=nq+ravec06r < n. On aXk−Xr=Xr(Xnq−1)orXn−1|Xnq−1
donc on peut écrireXnq−1 = (Xn−1)Q(X)puisXk= (Xn−1)XrQ(X) +Xr
avecdegXr<deg(Xn−1)ce qui permet de reconnaître le reste de division
euclidienne cherchée.

Exercice 6 :[énoncé]
(⇒) Siadiviseb, on peut écrireb=acet alors

Xb−1 = (Xa)c−1c= (Xa−1)(1 +Xa+∙ ∙ ∙+Xa(c−1))

doncXa−1diviseXb−1.

(⇐)SiXa−1diviseXb−1, réalisons la division euclidienne debpara

b=aq+ravec06r < a

On peut écrire
Xb−1 =Xr(Xaq−1) +Xr−1
et puisqueXa−1diviseXb−1et aussiXaq−1, on peut affirmer queXa−1
diviseXr−1.
Orr < adonc nécessairementr= 0et doncadiviseb.

2

Exercice 7 :[énoncé]
a)n=mq+ravec06r < m.
Xn−1 =Xmq+r−1 =Xmq+r−Xr+Xr−1 =Xr(Xmq−1) +Xr−1
orXmq−1 = (Xm−1)(1 +Xm+∙ ∙ ∙+Xm(q−1))doncXn−1 = (Xm−1)Q+R
avecQ=Xr(1 +Xm+∙ ∙ ∙+Xm(q−1))etR=Xr−1.
PuisquedegR <degXm−1,Rest le reste de la division euclidienne deXn−1
parXm−1.
b) Suivons l’algorithme d’Euclide calculant le pgcd denetm.
a0=n,a1=mpuis tant queak6= 0, on poseak+1le reste de la division
euclidienne deak−1parak.
Cet algorithme donne pgcd(m n) =apavecaple dernier reste non nul.
Par la question ci-dessus on observe que si on poseAk=Xak−1alors
A0=Xn−1,A1=Xm−1et pour toutktel queak6= 0,Ak6= 0etAk+1est le
reste de la division euclidienne deAk−1parAk.
Par suite pgcd(Xn−1 Xm−1) =pgcd(A0 A1) =pgcd(A1 A2) =∙ ∙ ∙=
pgcd(Ap Ap+1) =Ap=Xpgcd(mn)−1carAp+1= 0puisqueap+1= 0.

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