Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Endomorphisme opérant sur les polynômes
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Endomorphisme opérant sur les polynômes On en déduit qu’il existe un unique P ∈R [X] tel quen n n P (X) +P (X + 1) = 2Xn nExercice 1 [ 02152 ] [correction] ?Soit n∈N et Δ :K [X]→K [X] l’application définie parn+1 n Montrer que pour tout n∈N, il existe P ∈R [X] unique tel quen n Δ(P ) =P (X + 1)−P (X) nP (X) +P (X + 1) = 2Xn n a) Montrer que Δ est bien définie et que Δ est une application linéaire. b) Justifier qu’on peut exprimer P (X + 1) en fonction de P ,...,P .n 0 n b) Déterminer le noyau de Δ. c) En calculant de deux façons P (X + 2) +P (X + 1) déterminer une relationn n c) En déduire que cette application est surjective. donnant P en fonction de P ,...,P .n 0 n−1 Exercice 2 [ 02153 ] [correction] Exercice 5 [ 02156 ] [correction] Soit Δ :C [X]→C [X] l’application définie par Soient A un polynôme non nul deR [X] et r :R [X]→R [X] l’application définie par : Δ (P ) =P (X + 1)−P (X) ∀P∈R [X], r(P ) est le reste de la division euclidienne de P par A a) Montrer que Δ est un endomorphisme et que pour tout polynôme P non constant deg (Δ(P )) = degP− 1. 2Montrer que r est un endomorphisme deR [X] tel que r =r◦r =r. b) Déterminer ker Δ et ImΔ. Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme. c) Soit P∈C [X] et n∈N. Montrer ! nX nn n k Exercice 6 X MP [ 03046 ] [correction]Δ (P ) = (−1) (−1) P (X +k) k Soit P∈R [X].

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Langue Français

Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Endomorphisme opérant sur les polynômes

Exercice 1[ 02152 ][correction]
Soitn∈N?etΔ :Kn+1[X]→Kn[X]l’application définie par

Δ(P) =P(X+ 1)−P(X)

a) Montrer queΔest bien définie et queΔest une application linéaire.
b) Déterminer le noyau deΔ.
c) En déduire que cette application est surjective.

Exercice 2[ 02153 ][correction]
SoitΔ :C[X]→C[X]l’application définie par

Δ (P) =P(X+ 1)−P(X)

a) Montrer queΔest un endomorphisme et que pour tout polynômeP
constantdeg (Δ(P)) = degP−1.
b) Déterminerker Δet ImΔ.
c) SoitP∈C[X]etn∈N. Montrer
n
Δn(P) = (−1)nX(−1)knk!P(X+k)
k=0

d) En déduire que sidegP < nalors
n
X
k=0nk!(−1)kP(k) = 0

Exercice 3[ 02154 ][correction]
Soitϕ:Kn+1[X]→Kn[X]définie parϕ(P) = (n+ 1)P−XP0.
a) Justifier queϕest bien définie et que c’est une application linéaire.
b) Déterminer le noyau deϕ.
c) En déduire queϕest surjective.

non

Exercice 4[ 02155 ][correction]
a) Montrer queϕ:Rn[X]→Rn[X]définie parϕ(P) =P(X) +P(X+ 1)est
bijective.

Enoncés

On en déduit qu’il existe un uniquePn∈Rn[X]tel que

Pn(X) +Pn(X+ 1) = 2Xn

Montrer que pour toutn∈N, il existePn∈Rn[X]unique tel que

Pn(X) +Pn(X+ 1) = 2Xn

b) Justifier qu’on peut exprimerPn(X+ 1)en fonction deP0     Pn.
c) En calculant de deux façonsPn(X+ 2) +Pn(X+ 1)déterminer une relation
donnantPnen fonction deP0     Pn−1.

Exercice 5[ 02156 ][correction]
SoientAun polynôme non nul deR[X]etr:R[X]→R[X]l’application définie
par :

∀P∈R[X],r(P)est le reste de la division euclidienne dePparA

Montrer querest un endomorphisme deR[X]tel quer2=r◦r=r.
Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.

Exercice 6X MP[ 03046 ][correction]
SoitP∈R[X]. Montrer que la suite(P(n))n∈Nvérifie une relation de récurrence
linéaire à coefficients constants.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)P(X+ 1)etP(X)de polynômes de mmes degré et de coefficientssont
dominants égaux doncdegP(X+ 1)−P(X)<degPà moins queP= 0. Par
suite∀P∈Kn+1[X],Δ(P)∈Kn[X].
Soitλ µ∈KetP Q∈Kn+1[X].Δ(λP+µQ) =
(λP+µQ)(X+ 1)−(λP+µQ)(X) =λ(P(X+ 1)−P(X)) +µ(Q(X+ 1)−Q(X))
doncΔ(λP+µQ) =λΔ(P) +µΔ(Q).
b)P∈ker Δ⇔P(X+ 1)−P(X) = 0.
En écrivantP∈ker Δ⇔P(X+ 1) =P(X)⇔
a0+a1(X+ 1) +∙ ∙ ∙+an(X+ 1)n=a0+a1X+∙ ∙ ∙+anXn
En développant et en identifiant les coefficients, on obtient successivement,
an= 0     a1= 0et donc =ker ΔK0[X].
c) Par le théorème du rang
rgΔ = dimKn+1[X]−dim ker Δ =n+ 2−1 =n+ 1 = dimKn[X]doncΔest
surjectif.

Exercice 2 :[énoncé]
a)Δest clairement linéaire.
SoitP∈C[X]non nul etn= degP. On peut écrireP=a0+a1X+∙ ∙ ∙+anXn
avecan6= 0.
Δ(P) =a1Δ(X) +∙ ∙ ∙+anΔ(Xn)ordeg Δ(X)    deg Δ(Xn−1)6n−1et
deg Δ(Xn) =n−1doncdeg Δ(P) =n−1.
b) SiPest constant alorsΔ(P) = 0et sinonΔ(P)6= 0doncker Δ =C0[X].
˜
SoitP∈Cn[X]. La restrictionΔdeΔau départCn+1[X]et à l’arrivée dans
Cn[X]noyau de dimension 1 et en vertu du théorème du rangest bien définie, de
surjective. Il s’ensuit queΔest surjective.
c) NotonsT∈ L(C[X])défini parT(P) =P(X+ 1).
Δ =T−Idonc
Δn=k=Xn0(−1)n−knk!Tk
avecTk(P) =P(X+k)donc
Δn(P) = (−1)nnk=X0(−1)knk!P(X+k)
d) Sideg nP <alorsΔn(P) = 0donc
knX=0kn!(−1)kP(k) = 0

2

Exercice 3 :[énoncé]
a) SiP∈Kn[X]alorsϕ(P)∈Kn[X].
SidegP=n+ 1alors(n+ 1)PetXP0ont mme degré (n+ 1) et mme coefficient
dominant doncdeg(n+ 1)P−XP0< n+ 1puis(n+ 1)P−XP0∈Kn[X].
Finalement∀P∈Kn+1[X],ϕ(P)∈Kn[X]et donc l’applicationϕest bien définie.
Pourλ µ∈Ket toutP Q∈Kn+1[X]:
ϕ(λP+µQ) = (n+ 1)(λP+µQ)−X(λP+µQ)0=
λ((n+ 1)P−XP0) +µ((n+ 1)Q−XQ0)
et doncϕ(λP+µQ) =λϕ(P) +µϕ(Q).
n+1
b) SoitP=PakXk∈Kn+1[X].ϕ(P) = 0⇔ ∀k∈ {01     n+ 1},
k=0
(n+ 1)ak=kak.
AinsiP∈kerϕ⇔ ∀k∈ {01    n} ak= 0. Par suitekerϕ=Vect(Xn+1).
c) Par le théorème du rang
rg(ϕ) = dimKn+1[X]−dim kerϕ=n+ 2−1 = dimKn[X]doncϕest surjective.

Exercice 4 :[énoncé]
a)ϕest linaire. SidegP=k∈Nalorsdegϕ(P) =kdonckerϕ={0}. Par suite
ϕest bijective.
b)(P0     Pn)est une famille de polynômes de degrés étagés, c’est donc une base
deRn[X].
n
PuisquePn(X+ 1)∈Rn[X], on peut écrirePn(X+ 1) =PλkPk.
k=0
n
c)Pn(X+ 2) +Pn(X+ 1) = 2(X+ 1)netPn(X+ 2) +Pn(X+ 1) =P2λkXk
k=0
doncλk=Cnk.
n−1n−1
Pn= 2Xn−Pn(X+ 1) = 2Xn−PCknPk−PnpuisPn=Xn−21PCknPk.
k=0k=0

Exercice 5 :[énoncé]
Soientλ µ∈RetP1 P2∈R[X].
On aP1=AQ1+r(P1) P2=AQ2+r(P2)avecdegr(P1)degr(P2)<degA.
DoncλP1+µP2=A(λQ1+µQ2) +λr(P1) +µr(P2)avec
deg(λr(P1) +µr(P2))<degA.
Par suiter(λP1+µP2) =λr(P1) +µr(P2). Finalementrest un endomorphisme
deR[X].
De plus pour toutP∈R[X], on ar(P) =A×0 +r(P)avecdegr(P)<degA
doncr(r(P)) =r(P). Ainsir2=r.rest un projecteur.

∀P∈R[X],r(P) = 0⇔A|P

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donckerr=AR[X].
∀P∈R[X],r(P)∈Rn−1[X]
en posantn= degA. Donc Imr⊂Rn−1[X].
Inversement,
∀P∈Rn−1[X],r(P) =P∈Imr
DoncRn−1[X]⊂Imr.
Finalement Imr=Rn−1[X].

Exercice 6 :[énoncé]
PosonsT:P(X)7→P(X+ 1)etΔ =T−Id endomorphismes deR[X].
Δ(P) =P(X+ 1)−P(X).
On vérifie que sidegP6palorsdeg Δ(P)6p−1.
SoitP∈Rp[X].
Par ce qui précède, on aΔp+1(P) = 0.
Or
Δp+1=pk=X0+1pk+ 1!

carTet Id commutent.
On en déduit

(−1)p+1−kTk

1
pk=+X01p+k!(−1)kP(X+k) = 0

et en particulier pour toutn∈N,
pkX=01+p+k1!(−1)kP(
n+k) = 0

Corrections

3

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