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Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Racines d'un polynôme

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Racines d’un polynôme Exercice 5 [ 02159 ] [correction] Soit P∈C[X] un polynôme non nul tel que Exercice 1 [ 02157 ] [correction] 2P(X )+P(X)P(X +1) = 0 a) Soit n n−1 2P =a X +a X +...+a X +a a) Montrer que si a est racine de P alors a l’est aussin n−1 1 0 b) En déduire que a = 0 ou bien a est racine de l’unité. un polynôme à coefficients entiers tel que a = 0 et a = 0.n 0 On suppose que P admet une racine rationnelle r =p/q exprimée sous forme irréductible. Exercice 6 [ 02164 ] [correction] Montrer que p|a et q|a .0 n Montrer que si P∈R[X]\{0} vérifie b) Factoriser 23 2 P(X ) =P(X)P(X +1)P = 2X −X −13X +5 2c) Le polynôme ses racines sont parmi 0,1,−j,−j . En déduire tous les polynômes solutions. 3 P =X +3X−1 est-il irréductible dansQ[X]? Exercice 7 X PC - Centrale MP [ 02375 ] [correction] Trouver les P∈C[X] vérifiant 2Exercice 2 [ 02158 ] [correction] P(X ) =P(X)P(X +1) Soient a,b,c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K. Démontrer que le polynôme Exercice 8 [ 01329 ] [correction] X(X−b)(X−c) X(X−c)(X−a) X(X−a)(X−b) Trouver les P∈C[X] vérifiant P = + + a(a−b)(a−c) b(b−c)(b−a) c(c−a)(c−b) 2P(X ) =P(X)P(X−1) peut s’écrire sous la forme P =λ(X−a)(X−b)(X−c)+1 où λ est une constante que l’on déterminera. Exercice 9 [ 02165 ] [correction] Soit n n−1P(X) =X +a X +···+a X +a ∈C[X]n−1 1 0Exercice 3 [ 02161 ] [correction] Soient a ,a ,...,a des éléments deux à deux distincts de K.

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Racines d’un polynôme

Exercice 1[ 02157 ][correction]
a) Soit
P=anXn+an−1Xn−1++a1X+a0
un polynôme à coefficients entiers tel quean6= 0eta06= 0.
On suppose quePadmet une racine rationneller=pqexprimée sous forme
irréductible.
Montrer quep|a0etq|an.
b) Factoriser
P= 2X3−X2−13X+ 5

c) Le polynôme

P=X3+ 3X−1

est-il irréductible dansQ[X]?

Exercice 2[ 02158 ][correction]
Soienta b ctrois éléments, non nuls et distincts, du corpsK.
Démontrer que le polynôme

P=Xa((Xa−−bb())(Xa−−)c+)Xb((Xb−−cc)(()bX−−a)a)+cX(X−a)(X−b)
c(c−a)(c−b)

peut s’écrire sous la formeP=λ(X−a)(X−b)(X−c) + 1oùλest une
constante que l’on déterminera.

Exercice 3[ 02161 ][correction]
Soienta0 a1     andes éléments deux à deux distincts deK.
Montrer que l’applicationϕ:Kn[X]→Kn+1définie par

ϕ(P) = (P(a0) P(a1)     P(an))

est un isomorphisme deK-espace vectoriel.

Exercice 4[ 02162 ][correction]
Soienta0     andes réels distincts etϕ:R2n+1[X]→R2n+2définie par

ϕ(P) = (P(a0) P0(a0)     P(an) P0(an))

Montrer queϕest bijective.

Enoncés

Exercice 5[ 02159 ][correction]
SoitP∈C[X]un polynôme non nul tel que

P(X2) +P(X)P(X+ 1) = 0

a) Montrer que siaest racine dePalorsa2l’est aussi
b) En déduire quea= 0ou bienaest racine de l’unité.

Exercice 6[ 02164 ][correction]
Montrer que siP∈R[X] {0}vérifie

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

ses racines sont parmi01−j−j2. En déduire tous les polynômes solutions.

Exercice 7X PC - Centrale MP[ 02375 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]vérifiant

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

Exercice 8[ 01329 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]vérifiant

P(X2) =P(X)P(X−1)

Exercice 9[ 02165 ][correction]
Soit
P(X) =Xn+an−1Xn−1+∙ ∙ ∙+a1X+a0∈C[X]
Montrer que siξest racine dePalors

+ max
|ξ|6106k6n−1|ak|

Exercice 10Centrale MP[ 02371 ][correction]
a) Soitn∈N. Exprimersin ((2n+ 1)α)en fonction desinαetcosα.
b) En déduire que les racines du polynôme :
2
P(X) =np=X0(−1)p2np1+1+!Xn−p

sont de la formexk= cot2βk. Déterminer lesβk.

1

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Enoncés

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02663 ][correction]
Montrer quea= cos9πracine d’un polynôme de degré trois à coefficients dansest
Q. Montrer queaest irrationnel.

Exercice 12X MP[ 02941 ][correction]
SoientA B∈C[X]non constants vérifiant

{z∈CA(z) = 0}={z∈CB(z) = 0}et{z∈CA(z) = 1}={z∈CB(z) = 1}

Montrer queA=B.

Exercice 13Centrale MP[ 03098 ][correction]
Pourn∈N,n>3, on notePnle polynôme :
Pn(X) = (X+ 1)n−Xn−1

a) Avec le logiciel de calcul formel :
Que dire, pourn= 3457du module des racines complexes dePn?
Quelle est la factorisation deP7dansR[X]? dansC[X]?
Vérifier, à l’aide de valeurs approchées, que le polynômeP9possède des racines de
module>1.
b) Démontrer que pourn >7, le polynôme dérivéP0nadmet au moins une racine
dansCde module>1.
c) SoitP∈C[X]non constant. Démontrer que les racines complexe du polynôme
dérivéP0sont dans l’enveloppe convexe des racines du polynômeP.
n
Indice : siP(X) =cQ(X−zi)mi, considérer la fractionP0P.
i=1
d) En déduire quen= 7est le plus grand entier pour lequel toutes les racines de
Pnsont de module61.

Exercice 14X MP[ 01352 ][correction]
SoientKun corps eta1 a2     an∈Kdeux à deux distincts.
a) Calculer
nYXa−aj
i=X1j6=i i−aj
n
b) On poseA(X) =Q(X−aj). Calculer
j=1

Xn1ai)
i=1A0(

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)P(pq) = 0donne

n
anpn+an−1pn−1q+∙ ∙ ∙+a1pqn−1+a0q= 0

Corrections

3

Exercice 5 :[énoncé]
a) SiP(a) = 0alorsP(a2) =−P(a)P(a+ 1) = 0donca2est racine deP.
b) Sia6= 0etanon racine de l’unité alors la suite desa2nest une suite de
complexe deux à deux distincts, or tous les termes de cette suite sont racines deP
orP6= 0donc ce polynôme ne peut avoir une infinité de racines. Absurde.

Puisquep|anpn+∙ ∙ ∙+a1pqn−1, on ap|a0qnorp∧q= 1doncp|a0. De mmeExercice 6 :[énoncé]
q|aniS.aest racine dePalorsa2 a4   le sont aussi. Comme un polynôme non nul n’a
b) SiPadmet un racine rationneller=pqalorsp∈ {−5−115}etq∈ {12}. qu’un nombre fini de racines, on peut affirmer que lesa a2 a4   sont redondants
−25est racine deP qui implique. cea= 0ou|a|= 1.
X2−3X+1) = (2XX−2+3√5 X−3−2√S5iaest racine dePalors(a−1)2l’est aussi donca−1 = 0ou|a−1|= 1.
P= 2X3−X2−13X+5 = (2X+5)( +5)Sia6= 0eta6= 1on a nécessairement|a|=|a−1|= 1. Via parties réelle et
imaginaire, on obtienta=−jou−j2.
SiPest solution, non nulle, alors son coefficient dominant vaut 1 et on peut
c)asSilePest composé dansQ[X]alorsPpossède une racine rationnelle, or ce n’est écrire :
p cas.P=Xα(X−1)β(X2−X+ 1)γ. En injectant une telle expression dans l’équation,
DoncPest irréductible dansQ[X]. on observe que celle-ci est solution si, et seulement si,α=βetγ= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
P(a) =P(b) =P(c) = 1eta b cdeux à deux distincts donc

(X−a)(X−b)(X−c)|P−1

De plusdegP63donc il existeλ∈Ktel que

P=λ(X−a)(X−b)(X−c) + 1

PuisqueP(0) = 0, on aλ=ab1c.

Exercice 3 :[énoncé]
Soientλ µ∈KetP Q∈Kn[X]. Clairementϕ(λP+µQ) =λϕ(P) +µϕ(Q).
SoitP∈kerϕ. On aϕ(P) = (0    0)doncP(a0) =P(a1) =  =P(an) = 0.
degP6netPadmet au moinsn+ 1racines distinctes doncP= 0.
kerϕ={0}doncϕest injectif. De plusdimKn[X] = dimKn+1doncϕest un
isomorphisme.

Exercice 4 :[énoncé]
ϕest clairement linéaire et siP∈kerϕalorsPa plus de racines (comptés avec
multiplicité) que son degré doncP= 0. Ainsiϕest injective et puisque
dimR2n+1[X] = dimR2n+2,ϕest un isomorphisme.

Exercice 7 :[énoncé]
Le polynôme nul est solution. SoitPune solution non nulle.
Siaest racine dePalorsa2l’est aussi puisa4 a8   .
Or les racines dePsont en nombre fini donc les élémentsa2n(n∈N) sont
redondants. On en déduit quea= 0ouaest une racine de l’unité.
De plus, siaest racine dePalors(a−1)est aussi racine deP(X+ 1)donc
(a−1)2est racine deP. On en déduit quea−1 = 0oua−1est racine de l’unité.
2
Sia6= 01alors|a|=|a−1|= 1d’où l’on tirea=−jou−j.
Au final, les racines possibles dePsont01−jet−j2.
Le polynômePs’écrit donc

P(X) =λXα(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δ

avecλ6= 0,α β γ δ∈N.
En injectant cette expression dans l’équation

on obtient

On conclut

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

λ2=λ,α=βetγ=δ= 0

P(X) = [X(X−1)]α

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Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Le polynôme nul est solution. SoitPune solution non nulle.
4
Siaest racine dePalorsa2l’est aussi puisa  a8   .
Or les racines dePsont en nombre fini donc les élémentsa2n(n∈N) sont
redondants. On en déduit quea= 0ouaest une racine de l’unité.
De plus, siaest racine dePalors(a+ 1)est aussi racine deP(X−1)donc
(a+ 1)2est racine deP. On en déduit quea+ 1 = 0oua+ 1est racine de l’unité.
Sia6= 0−1alors|a|=|a+ 1|= 1d’où l’on tirea=jouj2.
Au final, les racines possibles dePsont0−1 jetj2.
Le polynômePs’écrit doncP(X) =λXα(X+ 1)β(X−j)γ(X−j2)δavecλ6= 0,
α β γ δ∈N.
En injectant cette expression dans l’équationP(X2) =P(X)P(X−1)on obtient
λ2=λ,α=β= 0etγ=δ
.
On conclutP(X) =X2+X+ 1γ.

Exercice 9 :[énoncé]
La propriété est immédiate si|ξ|61. On suppose désormais|ξ|>1et on note

L’égalité

donne

donc

puis

m= mk6anx−1|ak|
06

−ξn=an−1ξn−1+∙ ∙ ∙+a1ξ+a0

n−1n−1
|ξ|n6X|ak| |ξ|k6mX|ξ|k
k=0k=0

|ξn
|ξ|n6m||ξξ||n−−116m|ξ|−|1

|ξ|61 +m

Exercice 10 :[énoncé]
a)sin ((2n+ 1)α) =Imei(2n+1)α=Im(cosα+isinα)2n+1donne en
développantsin ((2n+ 1)α) =p=Pn0(−1)p22np+1+1!cos2(n−p)αsin2p+1α.
b) On observesin ((2n+ 1)α) = sin2n+1αP(cot2α).
Posonsβk=2nk+π1pour16k6n. Lesxk= cot2βksontnracines distinctes de
P, ordegP=nce sont donc exactement les racines de, P.

4

Exercice 11 :[énoncé]
cos 3x cos= 43x−3 cosxdonc4a3−3a= cosπ3 = 12.aest racine du
polynôme8X3−6X−1.
Soitx∈Qune racine de ce polynôme. On peut écrirex=pqavecp∧q= 1. On
a alors8p3−6pq2−q3= 0. On en déduitp|8p3−6pq2=q3orp∧q= 1donc
p=±1. De plusq2|6pq2+q3= 8p3, orq2∧p3= 1doncq2|8et doncq=±1ou
q=±2. Or1−112et−12ne sont pas les valeurs decosπ9. On peut conclure.

Exercice 12 :[énoncé]
SoientP=A−Betn= max(degAdegB)∈N?de sorte queP∈Cn[X].
Les solutions des équationsA(z) = 0etA(z) = 1sont racines deP.
Soitple nombre de racines distinctes de l’équationest A(z) = 0.
Puisque la somme des multiplicité des racines deAvautn, ces racines sont
susceptibles d’tre racines de l’équationA0(z) = 0avec une somme de
multiplicités égale àn−pracine de multiplicité 0 n’est en(en convenant qu’une
fait pas racine. . . )
Siqest le nombre de racines distinctes de l’équationA(z) = 1alors de mme
celles-ci sont racines de l’équationA0(z) = 0et la somme de leurs multiplicités
vautn−q.
Or ces dernières se distinguent des précédentes et puisquedegA0=n−1, on peut
affirmern−p+n−q6n−1ce qui donnep+q>n+ 1.
Le polynômePpossède donc au moinsn+ 1racines doncP= 0puisA=B.

Exercice 13 :[énoncé]
a) On définit le polynômePn
P:=n->(X+1)ˆn-Xˆn-1;
On évalue pour des valeurs concrètes denle module de ses racines
map(abs, [solve(P(7)=0, X)]);
On factoriseP7dansR[X]
factor(P(7));
et dansC[X]en précisant une extension avec laquelle Maple peut travailler
factor(P(7), [I, sqrt(3)]);
Enfin, on évalue numériquement le module des racines deP9
map(evalf@abs, [solve(P(9)=0, X)]);
b) Les racinesPn0sont les solutions de l’équation
(x+ 1)n−1=xn−1

Après résolution, celles-ci sont les
xk=ωk1−1avecωk= exp(n2i−kπ1),k= 1     n−2

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Le module de la racinexkest

1
|xk|=
nnk−π1
2 si

et la racine de plus grand module est obtenue pourk= 1.
On observe alors que pourn >7,

2 sinπ<2π= 1
sin
n−1 6

et donc|x1|>1.
n
c) PourP(X) =cQ(X−zi)mion a
i=1

P0m
P=Xmi
i=1X−zi

Corrections

Soitzune racine deP0. Sizest l’un deszila propriété voulue est vraie, sinon,
l’égalitéP0(z) = 0donne
m
Xmii= 0
z−z
i=1
En conjuguant cette relation et en multipliant chaque terme par sa quantité
conjuguée, on obtient
m
i=X1|z−mi|2(z−zi) = 0
zi

et donc
n
i=Xn1λi!z=i=X1λiziavecλi=|mi|2>0
z−zi
Ainsizest combinaison convexe desz1     zn.
d) Pourn= 7, les racines dePnsont de modules inférieurs à 1.
Pourn >7,Pn0admet au moins une racine de module strictement supérieur à 1 et
doncPnaussi.

Exercice 14 :[énoncé]
a) Posons

P(X) =nX YX−ajj
i=1j6=iai−a

On adegP6n−1et

∀16k6n,P(ak) = 1

5

Le polynômeP−1possède doncnracines et étant de degré strictement inférieur
àn, c’est le polynôme nul. On conclutP= 1.
b) On a
n
A0(X) =X Y(X−aj)
i=1j6=i
donc

A0(ai) =Y(ai−aj)
i6=j

La quantité
nX1
i=1A0(ai)
apparaît alors comme le coefficient deXn−1dans le polynômeP.
On conclut que pourn>2
Xn1ai 0) =
i=1A0(

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