Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Racines et arithmétique
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Racines et arithmétique Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02672 ] [correction] 2Déterminer les P deR[X]\{0} tels que P(X )=P(X)P(X−1). Exercice 1 [ 02166 ] [correction] Soient p et q deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux. Exercice 9 X MP [ 03041 ] [correction]Montrer p q pq Trouver les P∈C[X] tels que(X −1)(X −1)|(X−1)(X −1) 0 0 00 00P(1)=1, P(2)=2, P (1)=3, P (2)=4,P (1)=5 et P (2)=6 Exercice 2 [ 02167 ] [correction] Justifier les divisibilités suivantes : 2 na)∀n∈N, X |(X +1) −nX−1 Exercice 10 [ 03406 ] [correction] ? 3 n+2 n+1b)∀n∈N , (X−1) |nX −(n+2).X +(n+2)X−n [Equation de Fermat polynomiale] a) Soient P,Q,R∈C[X] premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que Exercice 3 [ 02168 ] [correction] P +Q+R =0 Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur à 3 tel que : Soient p,q,r le nombre de racines distinctes des polynômes P,Q,R 2 2 respectivement.(X−1) |P−1 et (X +1) |P +1 Prouver que le degré de P est strictement inférieur à p+q+r. Déterminer celui-ci. 0 0(indice : introduite P Q−QP) b) Trouver tous les triplets de polynômes complexes (P,Q,R) tels que n n nExercice 4 [ 02169 ] [correction] P +Q =R Justifier 3 2 3n 3p+1 3q+2∀(n,p,q)∈N , 1+X +X |X +X +X pour n>3 donné. c) Le résultat s’étend-il à n=2?

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Langue Français

Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Racines et arithmétique

Exercice 1[ 02166 ][correction]
Soientpetqentiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.deux
Montrer
(Xp−1)(Xq−1)|(X−1)(Xpq−1)

Exercice 2[ 02167 ][correction]
Justifier les divisibilités suivantes :
a)∀n∈N,X2|(X+ 1)n−nX−1
b)∀n∈N?,(X−1)3|nXn+2−(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)X−n

Exercice 3[ 02168 ][correction]
Montrer qu’il existe un unique polynômePde degré inférieur à 3 tel que :

Déterminer celui-ci.

(X−1)2|P−1et(X+ 1)2|P+ 1

Exercice 4[ 02169 ][correction]
Justifier
∀(n p q)∈N3,1 +X+X2|X3n+X3p+1+X3q+2

Exercice 5[ 02170 ][correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante surn∈Npour que

X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02668 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X]tels que(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02673 ][correction]
On cherche les polynômesPnon nuls tels que

P(X2) =P(X−1)P(X)

a) Montrer que toute racine d’un telPest de module 1.
b) Déterminer les polynômesP.

Enoncés

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02672 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X] {0}tels queP(X2) =P(X)P(X−1).

Exercice 9X MP[ 03041 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]tels que

P(1) = 1,P(2) = 2,P0(1) = 3,P0(2) = 4,P00(1) = 5etP00(2) = 6

Exercice 10[ 03406 ][correction]
[Equation de Fermat polynomiale]
a) SoientP Q R∈C[X]premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels
que
P+Q+R= 0

Soientp q rle nombre de racines distinctes des polynômesP Q R
respectivement.
Prouver que le degré dePest strictement inférieur àp+q+r.
(indice : introduiteP0Q−Q0P)
b) Trouver tous les triplets de polynômes complexes(P Q R)tels que

Pn+Qn=Rn

pourn>3donné.
c) Le résultat s’étend-il àn= 2?

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Les racines deXp−1sont simples et toutes racines deXpq−1.
Les racines deXq−1sont simples et toutes racines deXpq−1.
En dehors de 1, les racines deXp−1etXq−1sont distinctes.
Comme 1 racine double de(X−1)(Xpq−1), on peut conclure
(Xp−1)(Xq−1)|(X−1)(Xpq−1).

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) PosonsP= (X+ 1)n−nX−1. On aP(0) = 0etP0=n(X+ 1)n−1−ndonc
P0(0) = 0.
0 est au moins racine double dePdoncX2|P.
b) PosonsP=nXn+2−(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)X−n. On observe
P(1) =P0(1) =P00(1) = 0.
1 est au moins racine triple dePdonc(X−1)3|P.

Exercice 3 :[énoncé]
1 est au moins racine double deP−1donc 1 est au moins racine simple de
0
(P−1)0=P.
De mme−1est au moins racine simple deP0. Par suiteX2−1|P0.
PuisquedegP062, on peut écrireP0=λ(X2−1)avecλ∈K.
Par suiteP=λ3X3−λX+µ.P(1) = 1etP(−1) =−1permettent de déterminer
λetµ.
On obtient :λ=−32etµ= 0.

Exercice 4 :[énoncé]
1 +X+X2= (X−j)(X−j2).
jetj2sont racines deX3n+X3p+1+X3q+2donc
1 +X+X2|X3n+X3p+1+X3q+2.

Exercice 5 :[énoncé]
On peut factoriser
X2+X+ 1 = (X−j)(X−j2)

On en déduit

X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1⇔jetj2sont racines deX2n+Xn+ 1

2

PuisqueX2n+Xn+ 1est un polynôme réeljen est racine si, et seulement si,j2
l’est.
sin [3]= 0
(X2n+Xn+ 1)(j) =j2n+jn+ 1 =(03sinon

Finalement

X2+X+ 1|X2n+Xn+ 1⇔n6 [3]= 0

Exercice 6 :[énoncé]
SoitPsolution.X|(X+ 4)P(X)doncX|Ppuis(X+ 1)|P(X+ 1)donc
(X+ 1)|(X+ 4)P(X)puisX+ 1|Petc. . .
Ainsi on obtient queP(X) =X(X+ 1)(X+ 2)(X+ 3)Q(X)avec
Q(X+ 1) =Q(X)doncQconstant.
La réciproque est immédiate.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Siaest une racine dePnon nulle alorsa2 a4   sont racines deP. OrP6= 0
doncPn’admet qu’un nombre fini de racines. La série précédente est donc
redondante et par suiteaest une racine de l’unité et donc|a|= 1.
Sia= 0est racine dePalors1 = (0 + 1)2aussi puis4 = (1 + 1)2 . . etl’est encore,.
finalementPadmet une infinité de racines ce qui est exclu.
Finalement les racines dePsont toutes de module 1.
b) Soita∈Cune racine deP.a+ 1est racine deP(X−1)donc(a+ 1)2est
aussi racine deP. Il s’ensuit que|a|=|a+ 1|= 1. En résolvant cette double
équation on obtienta=jouj2et doncPest de la forme

P(X) =λ(X−j)α(X−j2)β

Le nombrejest racine de multiplicitéαdePdoncjest racine de multiplicité au
moinsαde
P(X2) = (X2−j)α(X2−j2)β
et par suiteβ>α. Un raisonnement symétrique permet de conclureβ=αet le
polynômePest de la forme
λ(X2+X+ 1)α
Un telPest solution du problème posé si, et seulement si,

λ2(X4+X2+ 1)α=λ((X−1)2+ (X−1) + 1)α(X2+X+ 1)α

égalité qui est vérifiée si, et seulement si,λ= 1.
Finalement les solutions du problème posé sont les polynômesP= (X2+X+ 1)α
avecα∈N.

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Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
SupposonsPsolution. Le coefficient dominant dePest égal à 1. Siaest racine de
Palorsa2et(a+ 1)2le sont aussi.
Siaest une racine dePnon nulle alorsa2 a4   sont racines deP. OrP6= 0
doncPn’admet qu’un nombre fini de racines. La série précédente est donc
redondante et par suiteaest une racine de l’unité et donc|a|= 1.
Sia= 0est racine dePalors1 = (0 + 1)2aussi puis4 = (1 + 1)2l’est encore,. . . et
finalementPadmet une infinité de racines ce qui est exclu.
Finalement les racines dePsont toutes de module 1.
Or siaest racine deP,(a+ 1)2l’étant encore, on a|a|=|a+ 1|= 1. Les seuls
complexes vérifiant cette identité sontjetj2.On en déduit que
P= (X2+X+ 1)nOn vérifie par le calcul qu’un tel polynôme est bien solution..

Exercice 9 :[énoncé]
Dans un premier temps cherchonsPvérifiantP(0) = 1,P(1) = 2,P0(0) = 3,
P0(1) = 4,P00(0) = 5etP00(1) = 6puis on considèreraP(X−1)au terme des
calculs.
Un polynôme vérifiantP(0) = 1etP(1) = 2est de la forme

P(X) =X+ 1 +X(X−1)Q(X)

Pour que le polynômePvérifieP0(0) = 3,P0(1) = 4,P00(0) = 5etP00(1) = 6
on veut queQvérifieQ(0) =−2,Q(1) = 3,Q0(0) =−92etQ0(1) = 0.
Le polynômeQ(X) = 5X−2 +X(X−1)R(X)vérifie les deux premières
conditions et vérifie les deux suivantes siR(0) = 192etR(1) =−5.
Le polynômeR=−229X+129convient.
Finalement
P(X) =X+ 1 +X(X−1)5X−2 +X(X−1)−229X+912

est solution du problème transformé et
P(X) =−292X5+ 111X4−5625X3+ 464X2−314X+ 82
est solution du problème initial.
Les autres solutions s’en déduisent en observant que la différence de deux
solutions possède 1 et 2 comme racine triple.
Finalement, la solution générale est
−922X5+ 111X4−6552X3+ 464X2−314X+ 82 + (X−1)3(X−2)3Q(X)
avecQ∈C[X].

Exercice 10 :[énoncé]
a) Puisque les racines communes àPetP0permettent de dénombrer les
multiplicités des racines deP, on a

p= degP−deg(pgcd(P P0))

et des relations analogues pourqetr.
De plus, on a
P0Q−Q0P=Q0R−R0Q=R0P−P0R

3

et ce polynôme est non nul car les polynômesP Q Rsont non constants. En effet,
siP0Q−Q0P= 0, alors une racine dePest nécessairement racine deQce qui est
exclu.
Puisque les polynôme pgcd(P P0), pgcd(Q Q0)et pgcd(R R0)divisent chacun le
polynômeQ0R−R0Qet puisqu’ils sont deux à deux premiers entre eux (car
P Q Rle sont), on a

pgcd(P P0)pgcd(Q Q0)pgcd(R R0)|Q0R−R0Q

Par considérations des degrés

et donc

degP−p+ degQ−q+ degR−r6degQ+ degR−1

degP6p+q+r−1

b) Soientn>3etP Q Rvérifiant

Pn+Qn=Rn

Siaest racine commune aux polynômesPetQalorsaest racine deR. En
suivant ce raisonnement et en simplifiant les racines communes, on peut se
ramener à une situation où les polynômesP Q Rsont deux à deux premiers entre
eux. Il en est alors de mme dePn,QnetRn. L’étude qui précède donne alors

mais aussi, de façon analogue

ndegP < p+q+r

ndegQ < p+q+retndegR < p+q+r

En sommant ces trois relations, on obtient

n(degP+ degQ+ degR)<3(p+q+r)

ce qui est absurde carn>3,degP>petc.

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On en déduit que les polynômesP Q Rsont constants.
Les solutions de l’équation

Pn+Qn=Rn

apparaissent alors comme des triplets

P=αT,Q=βT

avecα β γ∈CetT∈C[X]vérifiant

c) Pour

on a

P (= 1X2
2

etR=γT

n
αn+β=γ

n

+ 1),Q2=i(X2−1)etR=X

P2+Q

2=R2

Corrections

ce qui produit un triplet solution d’une forme différente des précédents obtenus
pourn>3.

4

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