Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Relations entre racines et coefficients
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Relations entre racines et coefficients Exercice 7 [ 02182 ] [correction] nP ? kPour n∈N on pose P = X .n k=0Exercice 1 [ 02176 ] [correction] a) Former la décomposition primaire de P dansC[X].4 nTrouver les racines dansC du polynôme X +12X−5 sachant qu’il possède deux nQ kπracines dont la somme est 2. b) En déduire la valeur de sin .n+1 k=1 Exercice 8 [ 02183 ] [correction]Exercice 2 [ 02177 ] [correction] ? n3 Soita∈R etn∈N . Résoudre dansC l’équation (1+z) = cos(2na)+isin(2na).Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ∈C pour que X −7X +λ n−1 Qadmette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation. kπEn déduire la valeur de sin a+ . n k=0 Exercice 3 [ 02178 ] [correction] Exercice 9 [ 02184 ] [correction] 3 2Résoudre x −8x +23x−28 = 0 sachant que la somme de deux des racines est Soit P∈C[X] non nul et n = degP. 0 (n−1)égale à la troisième. Montrer que les sommes des zéros de P,P ,...,P sont en progression arithmétique. Exercice 4 [ 02179 ] [correction] √ √ √ Exercice 10 Centrale MP [ 02373 ] [correction]3 2On considère l’équation : x −(2+ 2)x +2( 2+1)x−2 2 = 0 de racines 3 2Soit P =X +aX +bX +c un polynôme complexe de racines α,β,γ. Calculer x ,x et x .1 2 3 2 2 2a) Former une équation dont x ,x et x seraient racines. α β γ1 2 3 + + b) En déduire les valeurs de x ,x ,x .

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Langue Français

Exrait

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Relations entre racines et coefficients

Enoncés

Exercice 1[ 02176 ][correction]
Trouver les racines dansCdu polynômeX4+ 12X−5sachant qu’il possède deux
racines dont la somme est 2.

Exercice 2[ 02177 ][correction]
Donner une condition nécessaire et suffisante surλ∈Cpour queX3−7X+λ
admette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation.

Exercice 3[ 02178 ][correction]
Résoudrex3−8x2+ 23x−28 = 0que la somme de deux des racines estsachant
égale à la troisième.

Exercice 4[ 02179 ][correction]
On considère l’équation :x3−(2 +√2)x2+ 2(√2 + 1)x−2√2 = 0de racines
x1 x2etx3.
a) Former une équation dontx21 x22etx23seraient racines.
b) En déduire les valeurs dex1 x2 x3.

Exercice 5[ 02180 ][correction]
Déterminer les triplets :(x y z)∈C3tel que
(y+z) = 1y+z= 2
x+
a)1xyx+yzx+=+1−z4y=1+1z= 1b)yxz((xz++yx1)=1)=c)x2+y2+z2= 14.
x3+y3+z3= 20

Exercice 6[ 02181 ][correction]
Soientx y z∈C?tels quex+y+z= 0. Montrer
x12+y12+z12=1x+y1 + 1z2

Exercice 7[ 02182 ][correction]
n
Pourn∈N?on posePn=PXk.
k=0
a) Former la décomposition primaire dePndansC[X].
n
nkπ
b) En déduire la valeur dekQ=1sin+1.

1

Exercice 8[ 02183 ][correction]
Soita∈Retn∈N?. Résoudre dansCl’équation(1 +z)n= cos(2na) +isin(2na).
n−1
En déduire la valeur deQsina+nπk.
k=0

Exercice 9[ 02184 ][correction]
SoitP∈C[X]non nul etn= degP.
Montrer que les sommes des zéros deP P0     P(n−1)sont en progression
arithmétique.

Exercice 10Centrale MP[ 02373 ][correction]
SoitP=X3+aX2+bX+cun polynôme complexe de racinesα β γ. Calculer

α+β γ
β+γ γ+α+α+β

Exercice 11Centrale PSI[ 03333 ][correction]
x y zdésignent trois complexes vérifiant

Etablir

x+y+z= 0

x2+y2+
x5+y55+z5=2z2 x3+y33+z3

Exercice 12X PC[ 03336 ][correction]
Résoudre dansC3le système
x2+y2+z2= 0
x4+y4+z4= 0
x5+y5+z5= 0

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Exercice 13[ 03345 ][correction]
On considère le polynôme

P(X) =a0Xn+a1Xn−1+∙ ∙ ∙+an

de racinesx1     xncomptées avec multiplicité.
Pour toutp∈N, on pose
Sp=x1p+∙ ∙ ∙+xnp

Etablir

a0S1+a1= 0
a0S2+a1S1+ 2a2= 0
  
a0Sp+a1Sp−1+∙ ∙ ∙+ap−1S1+pap= 0
  
a0Sn+a1Sn+1+∙ ∙ ∙+anS1= 0
  
a0Sn+k+a1Sn+k−1+∙ ∙ ∙+anSk (= 0

∈C[X]

(0< p6n)

k >0)

Enoncés

Exercice 14Centrale PC[ 03812 ][correction]
a) Déterminer trois élémentsa b cdeC, non tous réels, tels quea+b+c,
a2+b2+c2eta3+b3+c3soient trois réels.
b) Montrer que, sia b csont trois éléments deCde modules différents et si
a+b+c∈R,a2+b2+c2∈Reta3+b3+c3∈R, alorsa,betcsont trois réels.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Notonsx1 x2 x3 x4les racines du polynôme considéré avecx1+x2= 2.
σ1=x1+x2+x3+x4= 0
σσ32==xx11xx22x+3x+1xx13x+2xx14x+4x+1xx32xx34++xx22xx34x+4x=3x−421=0
σ4=x1x2x3x4=−5
σ1donnex3+x4=−2,σ2donnex1x2+x3x4= 4etσ3donnex1x2−x3x4= 6.
On obtientx1x2= 5etx3x4=−1.
x1etx2sont les racines deX2−2X+ 5i.e.1±2i.
x3etx4sont les racines deX2+ 2X−1i.e.1√±2.

Exercice 2 :[énoncé]
Notonsx1 x2 x3les racines deX3−7X+λ. On peut supposerx2= 2x1.
Les relations entre coefficients et racines donnent :
x1+x2+x3= 0
x1x2+x2x3+x3x1=−7
x1x2x3=−λ

d’où
x3=−3x1
2−x621x13−6=x−21λ−3x12=−7

puis
λxx3211=6==x−313x1
Pour queX3−7X+λadmette une racine double d’une autre il est nécessaire que
λ= 6ou−6.
Pourλ= 6,X3−7X+ 6admet12et−3pour racines.
Pourλ=−6,X3−7X−6admet−1−2et 3 pour racines.

Exercice 3 :[énoncé]
Notonsx1 x2 x3les racines deX3−8X2+ 23X−28. On peut supposer
x1+x2=x3.

Les relations entre coefficients et racines donnent :
xxx111xx+22xx+32x=+2x2x383+=x83x1= 23d’ox3= 4
ùx1x2+ 4(x2+x1) = 23.
4x1x2= 28
Pour déterminerx1etx2il reste à résoudrex2−4x+ 7 = 0.
Finalementx1= 2 +i√3 x2= 2−i√3etx3= 4.

3

Exercice 4 :[énoncé]
σ1=x1+x2+x3= 2 +√2

a)σ2=x1x2+x2x3+x3x1= 2√2 + 2,
σ3=x1x2x3= 2√2
On en déduitx12+x22+x32=σ12−2σ2= 2,x21x22+x22x23+x32x12=σ22−2σ3σ1= 4
=
etx21x22x238.
Doncx12 x22etx23sont racines dex3−2x2+ 4x−8 = 0.
b) 2 est racine de l’équation ci-dessus :
x3−2x2+ 4x−8 = (x−2)(x2+ 4) = (x−2)(x+ 2i)(x−2i).
Quitte à réindexer :x21= 2 x22= 2ietx32=−2id’oùx1=√±2 x2=±(1 +i)et
x3=±(1−i).
Puisquex1+x2+x3= 2 +√2, on ax1=√2 x2= 1 +ietx3= 1−i.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Soit(x y z)un triplet solution
On aσ1=x+y+z= 1 σ3=xyz=−4et
σ2=xy+yz+zx=xyz(1x+1y+1z) =−4.
Par suitex y zsont les racines de :
X3−σ1X2+σ2X−σ3=X3−X2−4X+ 4 = (X−1)(X−2)(X+ 2).
Donc{x y z}={1−22}.
Inversement de tels triplets sont solutions.
x(y+z) = 1 (1)
b) Soit(x y z)un triplet solution deyz((zx++yx)=1(1)2(3)=)
(1)−(2)donnexz=yz,(3)donnez6= 0doncx=y.
De mme on obtientx=z.
Ainsix=y=z= 1√2ou−1√2.
Inversement de tels triplets sont solutions.
c) Soit(x y z)un triplet solution.
PosonsS1=x+y+z= 2 S2=x2+y2+z2= 14etS3=x3+y3+z3.
Déterminonsσ1=x+y+z σ2=xy+yz+zxetσ3=xyz.

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On aσ1= 2.
S12−S2= 2σ2. Par suiteσ2=−5.
Posonst=x2y+yx2+y2z+zy2+z2x+xz2.
On aS1S2=S3+td’oùt=S1S2−S3= 8
On aS3=S3+ 3t+ 6σ3d’oùσ3=16(S13−S3−3t) =−6.
1
Par suitex y zsont les racines de :
X3−σ1X2+σ2X−σ3=X3−2X2−5X+ 6 = (X−1)(X+ 2)(X−3).
Donc{x y z}={1−23}.
Inversement de tels triplets sont solutions.

Exercice 6 :[énoncé]
En développant
1 1 1z2=x12 1 2 2 2+ 1
x+y+y2+z2+xy+yz+zx

avec

2 2 2 2(z+x+y)
+ + = = 0
xy yz zx2xyz

Exercice 7 :[énoncé]
a) On a
n
(X−1)Pn=Xn+1−1 =Y(X−e2ikπ(n+1))
k=0
donc
n
Y

Pn= (X−e2ikπ(n+1))
k=1

b)Pn(1) =n+ 1et
n
2i)nYk
Pn(1) =k=Yn1(1−e2ikπ(n+1)) = (−k=1sinn+π1kY=n1eink+π1

mais

donc

n
Yeink+π1= exp(inπ2) =in
k=1

n
Ysinkn+π1 =n+2n1
k=1

Corrections

4

Exercice 8 :[énoncé]
(1 +z)n= cos(2na) +isin(2na) =e2ina⇔1 +z=i2na+2kπ
enavec
k∈ {01     n−1}.
Cette équation possède doncnsolutions distinctes qui sontzk=ei(2a+2knπ)−1
aveck∈ {01     n−1}.
n−1
On observe alorsQzk= (−1)n(1−e2ina).
k=0
n−1
Or :Qzk=
k=0
n−Q1(ei2(a+knπ)−1) =n−Q1ei(a+knπ)2isin(a+πnk) = 2nineina+i(n−21)πnQ−1sin(a+kπn)
k=0k=0k=0
n−1n−1
doncQzk= 2ni−1(−1)neinaQsin(a+nπk)puis
k=0k=0
Qeanin−inna.
n−1sin(a+kπn) =2in1−e2nia=2 11s
k=0

Exercice 9 :[énoncé]
n
P=PakXkavecan6= 0.
k=0
(k)
Notonsαkla somme des zéros deP.
α0=−an−1α=(n−n1)aann−1,α2=−(n−n2a)ann−1,...,αk=−(n−kn)aann−1,...,
an,1−
αn−1=−anna−1.
Lesα0 α1  n  αn−1sont en progression arithmétique de raisonan−1nan.

Exercice 10 :[énoncé]
Puisqueα+β+γ=−a, on a
βαγ+β+γβ=−a+αα+βa+β+γa+γ
+γ+α α+

et réduisant au mme dénominateur

a
βα+γ+β+γ=3−ab2a−cb+ 3c
γ+α α+β

carαβ+βγ+γα=betαβγ=−c.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 11 :[énoncé]
Posonsp=xy+yz+zxetq=−xyz.
Les nombresx y zsont racines du polynômes

On en déduit

De plus

X3+pX+q

x3+y3+z3=−p(x+y+z)−3q=−3q

2 2
(x+y+z) =x+y2+z2+ 2p

donc
x2+y2+z2=−2p
Aussix3=−px−qdonnex5=−px3−qx2=p2x+pq−qx2et donc

x5+y5+z5= 3pq+ 2pq= 5pq

et la relation proposée est dès lors immediate.

Exercice 12 :[énoncé]
Soit(x y z)un triplet de complexes et
P(X) = (X−x)(X−y)(X−z) =X3−pX2+qX−ravec
=
qp=yxx++yy+zz+zx
r=xyz

On a
(x+y+z)2=x2+y2+z2+ 2(xy+yz+zx)
Posonst=x3+y3+z3ets=xy2+yx2+yz2+zy2+zx2+xz2
On a
(x+y+z)(x2+y2+z2) =t+setpq=s+ 3r

donct= 3r−pq.
Puisquex y zsont racines deXP(X) =X4−pX3+qX2−rX, on a

x4+y4+z4=pt−q×(x2+y2+z2) +rp

Puisquex y zsont racine deX2P(X) =X5−pX4+qX3−rX2, on a

x5+y5+z5=p(x4+y4+z4)−q(x3+y3+z3) +r(x2+y2+z2)

Corrections

On en déduit que(x y z)est solution du système posé si, et seulement si,
−p2qt==2q0
pt+rp= 0

c’est-à-dire, sachantt= 3r−pq,
p2= 2q
p(4r−pq) = 0
q(3r−pq) = 0

Ce système équivaut encore à

et aussi à

p2= 2q
2pr=q2
3qr=pq2

p2= 2q
2pr=q2
qr= 0

5

Quersoit nul ou non, le système entraîneq= 0et est donc équivalent au système
(p= 0

q= 0

Ainsi, un triplet(x y z)est solution du système proposé si, et seulement si,x,y
etzsont les trois racines du polynômePr(X) =X3−r(pourr∈Cquelconque).
En introduisanta∈Ctel quea3=r, les racines dePr(X)sonta ajetaj2.
Finalement les solutions du système, sont les triplets(x y z)avec

poura∈Cquelconque.

Exercice 13 :[énoncé]
On a

x=a,y=ajetz=aj2

P0(X)n1
P(X) =k=X1X−xk

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min(kn)
bk=Xa`Sk−`
`=0
Par unicité des coefficients dexn xn−1    1de notre développement limité
généralisé, on obtient

Par unicité des coefficients de1x1x2   de notre développement limité
généralisé, on obtient
n
∀k > n,Xa`Sk−`= 0
`=0

NS`P(x) =b0xn+b1xn−1+∙ ∙ ∙+bN+2nxN−n
Xx`
`=0

b0=a0S0,b1=a0S1+a1S0,. . .

NS1
xP0(x) =Xx``P(x) +xoN−n
`=0

xP0(x) =na0xn+ (n−1)a1xn−1+∙ ∙ ∙+an−1

x→+∞
x1N

xP0(x)n
=
P(x)k=X11−1xxk=`=XN0xS``+o

puis

donc
xP0(x)n1
P(x) =k=X11−xxk
Par développement limité à un ordreN, on a quand

Or

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et

Corrections

avec

Exercice 14 :[énoncé]
a)1 j j2conviennent.
b) Introduisons le polynômeP(X) = (X−a)(X−b)(X−c). Les coefficients de ce
polynôme s’expriment à partir deS1=a+b+c,S2=a2+b2+c2et
S3=a3+b3+c3, le polynômePest donc à coefficients réels. S’il n’admet pas
trois racines, il possède deux racines complexes conjuguées. Celles-ci sont alors de
mme module ce qui est exclu.

Pourk= 0, on obtientS0=nqui était immédiat) et on en déduit(ce

k
∀06k6nXa`Sk−`= (n−k)ak
`=0

k−1
∀0< k6nXa`Sk−`+kak= 0
`=0

6