Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Applications de la diagonalisabilité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Applications de la diagonalisabilité a) Montrer que la matrice J est diagonalisable dansM (C)n b) Application : calculer Exercice 1 [ 00811 ] [correction] a a ··· a0 1 n−1n Calculer A pour .   . .. . . . .a .2 1 1 n−1   . . .A = 1 2 1 . . . . .. a1 1 1 2 a ··· a a1 n−1 0 Exercice 2 [ 00812 ] [correction] Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02692 ] [correction] Soit Les matrices    cosθ 2 sinθ A = 1 2 3 1 3 21 sinθ cosθ 2    3 1 2 et 2 1 3 2a) Déterminer deux réels α,β tel que A =αA +βI .2 2 3 1 3 2 1 nb) Calculer A pour n> 1. sont-elles semblables? Exercice 3 [ 00813 ] [correction] Exercice 7 X MP [ 02980 ] [correction]a) Déterminer les valeurs propres de Soit ϕ une application deM (C) versC vérifiant :  2 1 3 0 λ 0 A = 3 −2 −1 ∀A,B∈M (C),ϕ(AB) =ϕ(A)ϕ(B) et ϕ =λ2 0 10 −1 1 2 Montrer que ϕ = det.b) Combien y a-t-il de matrice M telle que M =A dansM (C)? dansM (R)?n n Exercice 8 Centrale PC [ 01279 ] [correction]Exercice 4 [ 00814 ] [correction] a) Démontrer que, si deux endomorphismes u et v d’un espace vectoriel ESoit 5 3 commutent, alors, les sous-espaces propres de u et l’image de u sont stables par v. A = ∈M (R)21 3 Dans les deux cas suivants :     a) Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P 20 12 −4 12 −12 −16 −8 −4 2    b) Soit M∈M (R) une matrice telle que M +M =A.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 40
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Applications de la diagonalisabilité

Exercice 1[ 00811 ][correction]
CalculerAnpour
A=

2
1
1

1
2
1

1
1
2



Exercice 2[ 00812 ][correction]
Soit
A21cossniθθc2ssoniθθ
=
a) Déterminer deux réelsα βtel queA2=αA+βI2.
b) CalculerAnpourn>1.

Enoncés

Exercice 3[ 00813 ][correction]
a) Déterminer les valeurs propres de
A=031−−123−110
b) Combien y a-t-il de matriceMtelle queM2=AdansMn(C)? dansMn(R)?

Exercice 4[ 00814 ][correction]
Soit
A=5313∈ M2(R)
a) Diagonaliser la matriceAen précisant la matrice de passageP
b) SoitM∈ M2(R)une matrice telle queM2+M=A.
Justifier que la matriceP−1M Pest diagonale.
c) Déterminer les solutions de l’équationM2+M=A.

Exercice 5[ 00815 ][correction]
Soit pourn>2la matrice
0
J=.
10

1
0
0

.
.
.
.
.
.
∙ ∙ ∙

(0)

1
0



a) Montrer que la matriceJest diagonalisable dansMn(C)
b) Application : calculer

a0a1∙ ∙ ∙
. .
. .
an−1. .
. .
. .
.. .
a1∙ ∙ ∙an−1

an−1
.
a1
a0

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02692 ][correction]
Les matrices
132213312et311321322
sont-elles semblables ?

Exercice 7X MP[ 02980 ][correction]
Soitϕune application deM2(C)versCvérifiant :
∀A B∈ M2(C) ϕ(AB) =ϕ(A)ϕ(B)etϕλ0

Montrer queϕ= det.

01=λ

1

Exercice 8Centrale PC[ 01279 ][correction]
a) Démontrer que, si deux endomorphismesuetvd’un espace vectorielE
commutent, alors, les sous-espaces propres deuet l’image deusont stables parv.
Dans les deux cas suivants :
2−410−32−149−25 −421−16−8−4
A=
−−84−51610−−25etA=8102131459−−161

b) Préciser les matrices qui commutent avecA(structure, dimension, base
éventuelle).
c) Etudier dansM4(R), puis dansM4(C), l’équation
X2=A

(nombre de solutions, un exemple de solution quand il y en a, somme et produit
des solutions quand elles sont en nombre fini).
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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Exercice 9[ 03145 ][correction]
SoitGun sous-groupe de(GLn(R)×)vérifiant

2
∀M∈G M=In

a) Montrer queGest commutatif.
b) En déduire que les éléments deGsont codiagonalisables.

c) En déduire
CardG62n
d) Application : Montrer que s’il existe un isomorphisme entre(GLn(R)×)et
(GLm(R)×)alorsn=m.

Exercice 10CCP MP[ 03215 ][correction]
SoitA∈ M3(R)telle que
SpA={−213}
a) ExprimerAnen fonction deA2,AetI3.
b) Calculer
ch(A+∞A2n
) =X(2n)!
n=0

Enoncés

Exercice 11[ 03252 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimensionnpossédant
exactementnvaleurs propres.
a) Déterminer la dimension des sous-espaces propres def.
b) Soitgun endomorphisme deEvérifiantg2=f. Montrer quegetfcommutent.
En déduire que les vecteurs propres defsont aussi vecteurs propres deg.
c) Combien y a-t-il d’endomorphismesgdeEsolutions de l’équation

g2=f

Exercice 12X MP[ 03270 ][correction]
a) Déterminer les entierskpour lesquelles l’équation

eiθ+ eikθ1
=

admet au moins une solutionθ∈R.
b) SoitSkl’ensemble des suites réellesutelles que

∀n∈N un+k=un+un+k−1

A quelle condition surk,Skcontient-il une suite périodique non nulle.

Exercice 13[ 03276 ][correction]
On considère trois suites réelles(un)n>0,(vn)n>0et(wn)n>0vérifiant
un
vn+1+1==u−nu−nv+nv+n+wnwn
wn+1=un+vn−wn

A quelle condition sur(u0 v0 w0) ?, ces trois suites sont-elles convergentes

Exercice 14[ 03454 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimensionn∈N?.
On suppose quefpossède exactementnvaleurs propres distinctes. Montrer que
seuls les polynômes enfcommutent avecf(indice : on pourra introduire un
polynôme interpolateur convenable).

Exercice 15CCP PSI[ 03810 ][correction]
a) Trouver les valeurs propres des matricesM∈ M2(R)vérifiant
M2+M=1111

b) Déterminer alors les matricesMsolutions à l’aide de polynômes annulateurs
appropriés.

Exercice 16CCP MP[ 02502 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E),v∈ L(E)
diagonalisables vérifiant
u3=v3

Montrer queu=v.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Aest diagonalisable avec SpA={14}.
PourPnun polynôme vérifiantPn(1) = 1netPn(4) = 4n, on aAn=P(A).
Pn n4n−13n(X−1)
= 1 +
convient et donc
An= 4n−1A4−4nI3
3 + 3

Exercice 2 :[énoncé]
a)α=trA cos= 2θetβ=−detA=−cos 2θconviennent.
b) Les racines deX2−2 cosθX+ cos 2θsontcosθ+ sinθetcosθ−sinθ.
Réalisons la division euclidienneXnparX2−2 cosθX+ cos 2θ.
Xn=X2−2 cosθX+ cos 2θQ(X) +R(X)

avecdegR <2,

R(cosθ+ sinθ) = (cosθ+ sinθ)n

Corrections

et
R(cosθ−sinθ) = (cosθ−sinθ)n
On obtient
R(cosθ+ sinθ2)ni−n(θcosθ−sinθ)n(X−cosθ−sinθ) + (cosθ+ sinθ)n
=
s
et donc
An= (cosθ+ sinθ2)nsi−n(θcosθ−sinθ)n(A−(cosθ+ sinθ)I2) + (cosθ+ sinθ)nIn

Exercice 3 :[énoncé]
a) sp(A) ={13−4}.
b) Il existe une matricePinversible tel queA=P DP−1avecD=diag(13−4).
SiM∈ Mn(C)est solution de l’équationM2=Aalors(P−1M P)2=Det donc
P−1M Pcommute avec la matriceD. Or celle-ci est diagonale à coefficient
diagonaux distincts doncP−1M Pest diagonale de coefficients diagonauxa b c
vérifianta2= 1,b2= 3etc2=−4La réciproque est immédiate. Il y a 8 solutions.
possibles pour(a b c)et donc autant de solutions pourM. Les solutions réelles
sont a fortiori des solutions complexes or toutes les solutions complexes vérifient
trM=a+b+c∈CR. Il n’existe donc pas de solutions réelles.

Exercice 4 :[énoncé]
a)det(A−λI) = (λ−2)(λ−6).
(5x+33yy2=2=xy⇔x+y= 0et−11est vecteur propre associé à la valeur
x+
propre2.
(5xx+33+yy6==y6x⇔ −x+ 3y= 0et31est vecteur propre associé à la valeur
propre6.
On aA=P DP−1ec
av
P=−1113etD=0260
b) SiMest solution alorsP−1M Pest solution de l’équationX2+X=Ddonc
P−1M PetDcommutent orDest diagonale à coefficients diagonaux distincts
doncP−1M Pest diagonale
c) Les coefficients diagonauxa bvérifienta2+a= 2etb2+b= 6donca= 1ou
a=−2etb= 2oub=−3. Au termes des calculs on obtient les solutions
141573,−−12−03,11−31,41−−111−−93

Exercice 5 :[énoncé]
a) En développant selon la dernière ligne

3

−λ1 0∙ ∙ ∙0
.
0−λ1...
. . .
.
det(J−λIn) =. . . .. .0 = (−1)n+1+ (−λ)n= (−1)n(λn−1)
. .
0. . . .1
1 0∙ ∙ ∙0−λ

Jpossède exactementnvaleurs propres qui sont les racinesnème de l’unité
2ikπ
ω0  ωn−1avecωk=en.
b) SoitP∈GLn(C