Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité et endomorphisme induit

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité et endomorphisme induit Exercice 6 [ 00858 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectoriel E de dimension finie.Exercice 1 [ 00854 ] [correction] Montrer que f et g commutent si, et seulement si, f et g sont simultanémentSoit f un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension diagonalisables. finie. Montrer que la restriction de f à tout sous-espace vectoriel F ={0} stable est diagonalisable. Exercice 7 [ 03374 ] [correction] Soient A,B,C∈M (R) vérifiantn Exercice 2 [ 00855 ] [correction] AB−BA =C Soit u un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B.finie. a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle.Montrer qu’un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que lail possède une base de vecteurs propres de u. matrice C est nulle. Exercice 3 [ 03038 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel pour lequel il existe une base B = (e ,...,e ) vérifiant u(e ) =e et u(e ) =e +e .1 n 1 1 2 1 2 L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Exercice 4 [ 00856 ] [correction] 3Soit f l’endomorphisme deR dont la matrice est   5 1 −1  2 4 −2 1 −1 3 dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Diagonalisabilité et endomorphisme induit

Enoncés

Exercice 1 [ 00854 ] [correction] Soitfun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer que la restriction defà tout sous-espace vectorielF6={0}stable est diagonalisable.

Exercice 2 [ 00855 ] [correction] Soituun endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer qu’un sous-espace vectorielFnon nul est stable parusi, et seulement si, il possède une base de vecteurs propres deu.

Exercice 3 [ 03038 ] [correction] Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel pour lequel il existe une base B= (e 1      e n )vérifiantu(e 1 ) =e 1 etu(e 2 ) =e 1 +e 2 . L’endomorphismeu ?est-il diagonalisable

Exercice 4 [ 00856 ] [correction] Soitfl’endomorphisme deR 3 dont la matrice est   5 2 1− 1 4 1 − − 1 2 3  

dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables parf.

Exercice 5 [ 00857 ] [correction] Soientfetgdeux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer quefetgsont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.

Exercice 6 [ 00858 ] [correction] Soientfetgdeux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectorielEde dimension finie. Montrer quefetgcommutent si, et seulement si,fetgsont simultanément diagonalisables.

Exercice 7 [ 03374 ] [correction] SoientA B C∈ M n (R)vérifiant

AB−BA=C

On suppose en outre queCcommute avec les matricesAetB. a) On suppose queAet diagonalisable. Montrer que la matriceCest nulle. b) On suppose que la matriceCest diagonalisable. Montrer à nouveau de que la matriceCest nulle.

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