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Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'une matrice

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Elémentspropresetdiagonalisabilitéd’unematrice Diagonaliser les matrices deM (R)n   1 ··· ··· ··· 1  Exercice 1 [ 00789 ] [correction]  . . 0 ··· 0 1 . . . 0 ··· 0 .Soient α∈R et    . . .. . .   . . . .. . . . . . .  et  . . . .cosα − sinα cosα sinα   0 ··· 0 1A = ∈M (K) et B = ∈M (K)  2 2 . .sinα cosα sinα − cosα . . 1 ··· 1 1 . 0 ··· 0 . 1 ··· ··· ··· 1 a) On supposeK =C. La matrice A est-elle diagonalisable? b) On supposeK =R. La A? c) Mêmes questions avec B. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02704 ] [correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice deM (R) suivanten   1 1 ··· 1Exercice 2 [ 00790 ] [correction]  1 1 (0)Soient a,b,c∈R. La matrice    . .. . ..  0 −b c 1 (0) 1  M = a 0 −c ∈M (R)3 −a b 0 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02705 ] [correction] est-elle diagonalisable?     a b ··· b b ··· b a    . .. .. . . .   . .b a . . a b   Soit a, b deux réels, A = et B = .   . .. . . .. . . . . .   . . . .Exercice 3 [ 00792 ] [correction] . b b . ?Soient a,b∈R tels que|a| =|b| et b ··· b a a b ··· b Réduire ces deux matrices.  a b a ··· b  b a b ··· a   a b a ··· bA = ∈M (R) (avec n> 2) Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02706 ] [correction]  2n  . . . ... . . . . On pose .  . . . . 2 2a ab ab bb a b ··· a 2 2 ab a b ab M(a,b) = 2 2 ab b a aba) Calculer le rang de A.

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pour tousa bréels.
a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?
b) Etudier et représenter graphiquement l’ensemble des(a b)∈R2tel que
M(a b)ntend vers 0 quandntend vers∞.

a) Calculer le rang deAdéduire que 0 est valeur propre de. En Aet déterminer la
dimension du sous-espace propre associé.
b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire queAest
diagonalisable.

abbbaa∙∙∙∙∙∙ab
A=a b a∙ ∙ ∙b
.b.a.b∙..∙.∙.a

Exercice 3[ 00792 ][correction]
Soienta b∈R?tels que|a| 6=|b|et

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02705 ][correction]
a b∙ ∙ ∙b b
.
Soita,bdeux réeb a.tB.
ls,A=..e=
b.∙.∙.∙. .b..abab
Réduire ces deux matrices.

a

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02706 ][correction]
On pose
a2ab ab b2
b) =aab2abbba2b2abab22aaa2bb
M(a

Eléments propres et diagonalisabilité d’une matrice

Diagonaliser les matrices deMn(R)




et

∈ M2n(R)(avecn>2)


Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02704 ][correction]
Déterminer les valeurs propres de la matrice deMn(R)suivante
1111∙ ∙ ∙)1(0
.1 (0)...1

Exercice 1[ 00789 ][correction]
Soientα∈Ret
A=sincosαα−cossinαα∈ M2(K)etB=socnsiαα−oscnsiαα∈ M2(K)

a) On supposeK=C. La matriceAest-elle diagonalisable ?
b) On supposeK=R. La matriceAest-elle diagonalisable ?
c) Mmes questions avecB.

b
.

.
b

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b

b
a
.
.
.
∙ ∙ ∙

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1

∙ ∙ ∙

0

.
0
∙ ∙ ∙

1

0
∙ ∙ ∙

.



∙ ∙ ∙

0

∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙0 1
. .
∙ ∙ ∙1011
∙ ∙ ∙

0
.
0
1

1
.
.
.
1

∙ ∙ ∙

est-elle diagonalisable ?

Enoncés

−b
0
b

0
M=−aa

∈ M3(R)

c
−c
0

[ 02703 ][correction]

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Exercice 2[ 00790 ][correction]
Soienta b c∈R. La matrice

Exercice 4Mines-Ponts MP

.



.
.
1

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Enoncés

Exercice 8Centrale MP[ 01557 ][correction]
Soient(a1     a2n)∈C2netA= (aij)16ij62nla matrice deM2n(C)définie par :
(0)a2n
.
A=A(a1     a2n) =.)
.
a1(0

autrement dit telle queai j= 0sii+j6= 2n+ 1etai2n+1−i=a2n+1−ipour

i= 1    2n.
a) Etude du casn= 2avec le logiciel de calcul formel : créer la matrice
d
A=A(a b c d) =(0)bc
a(0)

et étudier le caractère diagonalisable deAtiaue«sn».leranégéonti
Etudier séparément avec le logiciel les cas particuliers non envisagés en situation
générale.
Vérifier tous les résultats par un étude directe
b) Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetF1     Fpdes
sous-espaces vectoriels stables parutels que

E=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fp

Démontrer une condition nécessaire et suffisante pour queusoit diagonalisable,
faisant intervenir les restrictionsuF1     uFp(où la restrictionuFiest
considérée comme endomorphisme deFi).
c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice
A(a1     a2n)soit diagonalisable.
d) Comment les résultats sont-ils modifiés si la matriceAest réelle et qu’on
étudie si elle est diagonalisable dansM2n(R)?

Exercice 9[ 03123 ][correction]
Monter que la matrice suivante est diagonalisable
0.1 (0)
n..2
A=n−1......∈ Mn+1(C)
. .
.
. . .n
(0) 1 0

(indice : on pourra interpréterAcomme la matrice d’un endomorphisme de
Cn[X])

Exercice 10X PSI[ 03255 ][correction]
Soit
(b)
Mn=0(a)...0∈ Mn(C)

A quelle condition la matriceMnest-elle diagonalisable ?
Déterminer alors une base de vecteurs propres

Exercice 11[ 03283 ][correction]
a) Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice
 00 1
. .
M=. .. . .
a00∙a∙1∙∙∙0∙an1−1

en fonction du polynôme

P(X) =Xn−(an−1Xn−1+∙ ∙ ∙+a1X+a0)

b) Soitλune racine deP. Déterminer le sous-espace propre deMassocié à la
valeur propreλ.
c) A quelle condition la matriceMest-elle diagonalisable ?

Exercice 12CCP MP[ 03767 ][correction]
Considérons la matriceAsuivante :
0 1 0 0
A=110k1100∈ M4(C)
0 1 0 0

1. On supposekréel, la matriceAest-elle diagonalisable dansM4(R)? (sans
calculs) ;
2.a) Déterminer le rang deA.

2

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2.b) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique deAest de la
forme
X2(X−u1)(X−u2)

avecu1,u2appartenant àC?et vérifiant

u1+u2=ketu12+u22=k2+ 6

2.c) Etudier les éléments propres dans le cas oùu1=u2.
2.d) En déduire les valeurs dekpour queAsoit diagonalisable dansM4(C).

Enoncés

Exercice 13CCP MP[ 03433 ][correction]
Pour quelle(s) valeurs dex∈R ?, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable
A=−2−x5−x−+525−xx−3xx

Exercice 14CCP PSI[ 03809 ][correction]
a) Déterminer l’ensembleΩdes réelsatels que
A=1112a1−−−21
1

n’est pas diagonalisable.
b) Poura∈Ω, trouverPinversible telle queP−1AP

soit triangulaire supérieure.

Exercice 15CCP MP[ 02536 ][correction]
Soienta b c dquatre nombres complexes aveca2+b26= 0et
abba−cdcd

A=−−dc−cbad−ba

a) CalculerAtA,detAet montrer que rg(A) = 2ou4.
b) On poseα2=b2+c2+d2supposé non nul. Montrer queAest diagonalisable.

Exercice 16CCP MP[ 02522 ][correction]
Soit(a1     an−1)∈Cn−1.
a) Quel est le rang deA∈ Mn(C)définie par
0∙ ∙ ∙0

A=. .
a01∙∙∙∙∙∙an0−1

a1

.?
−1
an0

b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c)A ?est-elle diagonalisable

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)χA(X) = (X−cosα)2+ sin2αde racineseiαete−iα.
Siα6= 0 [π]alorsApossède deux valeurs propres distinctes doncAest
diagonalisable.
Siα= 0 [π]alorsAest diagonale.
b) Siα6 [= 0π]alorsAne possède pas de valeurs propres (réelles) donc n’est pas
diagonalisable.
Siα= 0 [π]alorsAest diagonale.
c)χB(X) = (X−cosα)(X+ cosα)−sin2αde racines±1doncBest
diagonalisable.

Exercice 2 :[énoncé]
On obtient
χM=−X(X2+ (ab+bc+ca))
Posonsδ=ab+bc+ca.
Siδ <0alorsMest diagonalisable carχMadmet trois racines distinctes et donc
Madmet trois valeurs propres distinctes.
Siδ= 0alorsMest diagonalisable si, et seulement siMest semblable à la
matrice nulle ce qui n’est le cas que sia=b=c= 0.
Siδ >0alorsMn’est pas diagonalisable carχMn’est pas scindé surR[X].

Exercice 3 :[énoncé]
a)Apossède que deux colonnes différentes donc rgne A62.
2
baba=a−b26= 0donc rg(A) = 2. Par le théorème du rang
dim kerA= 2n−2donc 0 est valeur propre deAet la dimension du sous-espace
propre associé est2n−2.
b) Les vecteurst1  1ett1−1  1−1sont vecteurs propres
associées aux valeurs propres non nullesn(a+b)etn(a−b). La somme des
dimensions des sous-espaces propres vaut2ndoncAest diagonalisable.

Exercice 4 :[énoncé]
Etudions la première matrice que nous noteronsA.
Celle-ci est de rang 2 et on peut facilement déterminer une base de son noyau.
En posant le systèmeAX=λXavecλ6= 0, on obtient une solution non nulle
sous réserve que
λ2−λ−(n−1) = 0

4

En notantλ1etλ2racines de cette équation, on obtientles deux A=P DP−1
avec
 1 11 (0)
.
.
.. .
P= (0) 1.etD=diag(0    0 λ1 λ2)
.
−01∙ ∙0∙ −10λ11λ12
En reprenant la mme démarche avec la seconde matrice que nous noteronsB, on
obtientB=P DP−1avec
0110∙ ∙ ∙0)0(λ21λ22
.
.
P=... .etD=diag(0    0 λ1 λ2)
.(0) 1. .
−10−01−∙∙∙∙∙∙10λ21λ22
oùλ1 λ2sont les deux racines de
λ22λ−2(n−2) = 0

Exercice 5 :[énoncé]
1ère méthode :
Notonsχn(λ)le polynôme caractéristique de cette matrice de taillen.
Par développement du déterminant selon la dernière colonne on obtient

χn(λ) = (1−λ)χn−1(λ)−(1−λ)n−2

En étudiant les premiers termes de cette suite, on conjecture

χn(λ) = (1−λ)n−(n−1)(1−λ)n−2
que l’on vérifie aisément par récurrence. Les valeurs propres de la matrice sont
donc 1 (pourn>3) et les deux racinesλ= 1±√n−1.
2ème méthode :
NotonsAla matrice étudiée. L’équationAX=λXdonne le système
x1+∙ ∙ ∙+xn=λx1
x1+x2=λx2



.
x1+xn=λxn

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x1+∙ ∙ ∙+xn=λx1
x1= (λ−1)x2

.

x1= (λ−1)xn

Corrections

Pourλ= 1, on peut obtenir une solution non nulle avec les conditionsx1= 0et
x2+∙ ∙ ∙+xn= 0.
Pourλ6= 1, le système devient
(n−1)x1= (λ−1)2x1
x2=x1(λ−1)



.
xn=x1(λ−1)

Pourx1= 0, la solution du système est nulle.
Pourx16= 0, on peut former une solution non nulle à condition que
(λ−1)2=n−1.

Exercice 6 :[énoncé]
A=P DP−1avecD=diag(a+ (n−1)b a−b     a−b)et
1 1 (0)
.
.
.1.

P.
=
.
...1
1 (0)−1
B=QΔQ−1avec
Sinest impair :Δ =diag(a+ (n−1)b b−a     b−a a−b     a−b)et
1 1 (0) 1 (0)
. .
. .
.. .

.(0) 1 (0) 1
.
Q=.0∙ ∙ ∙0−2 −∙ ∙ ∙2

.(0)− 11 (0)
.1−1. . .(0) 1. . .(0)
Sinpair :Δ =diag(a+ (n−1)b b−a     b−a a−b     a−b)et

Q

1

.

.

1

.
.
.

=.(0)
.(0)
.
.1−1. . .

.
.
.

(0)

1

−1

.
.
.
.
.
.

(0)

1

1 (0)−1
.
−1 (0)−1
. .
. . . .1
.(0)
−1. .
(0) 1

5

Exercice 7 :[énoncé]
a)M(a b) =P D(a b)P−1avecD(a b) =diag((a+b)2(a−b)2 a2−b2 a2−b2)et
11−111001
=
P11−11−10−01

bO)raM2(a−bb2)n=→(a+0sib,)(etas−eubl)laddoncementsi,|earn+ièbr|e<co1dn,|iati−onb|l’<est1ettuaoa2ma−tibq2ue<me1esiltsn.
deux premières le sont.
L’étude graphique est alors simple.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On charge le package linalg et on définit la matrice étudiée
with(linalg):
A:=matrix(4, 4, [0, 0, 0, d, 0, 0, c, 0, 0, b, 0, 0, a, 0, 0, 0]);
On détermine ses éléments propres
eigenvects(A);
Dans le cas oùa b c dnuls, on obtient quatre vecteurs propres nonsont non
colinéaires et la matrice est diagonalisable.
Sia= 0etd6= 0
A:=matrix(4, 4, [0, 0, 0, d, 0, 0, c, 0, 0, b, 0, 0, 0, 0, 0, 0]);
eigenvects(A);
On obtient 0 valeur propre double et le sous-espace propre correspondant est de
dimension 1.
La matriceAn’est alors pas diagonalisable.
Sib= 0etc6= 0, ou sic= 0etb6= 0, ou encore sid= 0eta6= 0, c’est semblable.

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Corrections

Dans les cas complémentaires (par exemplea=d= 0etb c6= 0), la matrice est
diagonalisable.
b) Siuest diagonalisable alors les endomorphismesuF1     uFple sont aussi (car
sont annulé par un polynôme scindé simple annulantu).
Inversement, si les endomorphismesuF1     uFpsont diagonalisables alors,
sachantE=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fp, on peut former une base deEdiagonalisantuen
accolant des bases desFidiagonalisantuFi.
Finalement,uest diagonalisable si, et seulement si, les endomorphismes
uF1     uFple sont.
c) Soient(e1     e2n)la base canonique deC2netu∈ L(C2n)de matriceAdans
cette base.
Les espacesF1     Fndéfinis parFi=Vect(ei e2n+1−i)sont stables paruet
vérifientC2n=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fn.
Par ce qui précède,uest diagonalisable si, et seulement si, les endomorphismes
uF1     uFnle sont.
Or la matrice deuFidans la base(ei e2n+1−i)est
a0ia2n0+1−i

et cette dernière est diagonalisable dansM2(C)si, et seulement si,

aia2n+1−i6= 0ouai=a2n+1−i= 0

On peut alors affirmer queAest diagonalisable si, et seulement si,

∀i∈ {1     n} aia2n+1−i6= 0ouai=a2n+1−i= 0

d) DansM2(R), la matrice

a00b
est diagonalisable si, et seulement si,

ab >0oua=b= 0

En adaptant l’étude qui précède, on obtient queAest diagonalisable dans
M2n(R)si, et seulement si,

∀i∈ {1     n} aia2n+1−i>0ouai=a2n+1−i= 0

Exercice 9 :[énoncé]
La matriceAest la matrice dans la base canonique(1 X     Xn)de
l’endomorphisme
u:P∈Cn[X]7→nXP+ (1−X2)P0

Considérons alors la base de polynômes étagés(1(X+ 1)    (X+ 1)n). On a
u(X+ 1)k=nX(X+ 1)k+k(1−X)(X+ 1)k

qui se réécrit

u(X+ 1)k= (n−k)(X+ 1)k+1+ (2k−n)(X+ 1)k

La matrice de l’endomorphismeudans la base(1(X+ 1)    (X+ 1)n)est
triangulaire inférieure de coefficients diagonaux distincts

6

2k−naveck∈ {0     n}
On en déduitχAet on observer queApossèden+ 1valeurs propres distinctes. La
matriceAest donc diagonalisable.

Exercice 10 :[énoncé]
Casa=b= 0la résolution est immédiate.
Casa= 0etb6= 0, la matriceMnest triangulaire supérieure stricte non nulle, elle
n’est pas diagonalisable.
Casa6= 0etb= 0, idem.
Casa=b
χMn(X) = (−1)n(X−(n−1)a)(X+a)n−1
avec
E(n−1)a=Vect(1    1)
et
E:x+∙ ∙ ∙+x= 0

−a1n
La matriceMndiagonalisable et il est aisé de former une base deest donc
vecteurs propres.
Casa6=betab6= 0
Après calculs (non triviaux)

χMn(X) = (−1)nb(X+a)nb−−aa(X+b)n

Les racines de ce polynôme sont les solutions de l’équation d’inconnuez∈C
n
a
zz++ab=
b

Il y en a exactementns’exprimant en fonction des racinesnème de l’unité.
On en déduit queMnest diagonalisable.

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Soitλune valeur propre deMnetx= (x1     xn)∈Cn.
L’équationMnx=λxéquivaut au système
−λx1+bx2+∙ ∙ ∙+bxn= 0
ax1−λx2+∙ ∙ ∙+bxn= 0

.

ax1+∙ ∙ ∙+axn−1−λxn= 0

Corrections

En retranchant à chaque équation la précédente, on obtient le système équivalent
−λx1+bx2+∙ ∙ ∙+bxn= 0
(a+λ)x1+ (b+λ)x2= 0

.
(a+λ)xn−1−(b+λ)xn= 0

Puisque ce système est de rangn−1(carλest valeur propre simple) et puisque
lesn−1dernières équations sont visiblement indépendantes, ce système équivaut
encore à
(a+λ)x1+ (b+λ)x2= 0
.
(a+λ)xn−1−(b+λ)xn= 0
La résolution de ce dernier est immédiate. On obtient pour vecteur propre
x= (x1     xn)avec
+λk
xk=ba+λ

Exercice 11 :[énoncé]
a) En développant selon la première colonne

−λ1 0−λ1
. . . .
. .
.0∙ ∙ . .. .= (−1)n+1a0−λ0.∙ ∙ ∙.−λ.
∙ −λ1
a0∙ ∙ ∙an−2an−1−λ[n]a1∙ ∙ ∙an−2

puis en reprenant le processus on parvient à

(−1)n+1(a0+a1λ+∙ ∙ ∙+an−1λn−1−λn)

0

1
an−1−λ

[n−1]

On peut aussi retrouver ce résultat via l’opération élémentaire :
C1←C1+λC2+∙ ∙ ∙+λn−1Cn.
On en déduit
χM(X) = (−1)nP(X)
b) Siλest racine du polynômePalorsλest valeur propre deM. Après
résolution, le sous-espace propre associé est engendré par la colonne
t1λ  λ  n−1

7

c) Puisque les sous-espaces propres sont de dimension 1, la matriceMest
diagonalisable si, et seulement si, elle possède exactementnvaleur propres ce qui
revient à dire que le polynômePest scindé à racines simple.

Exercice 12 :[énoncé]
1. La matriceAest symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable.
2.a) rgA= 2.
2.b) Le polynôme caractéristique deAest scindé et unitaire.
Puisquedim kerA= 2, 0 est valeur propre au moins double deAet donc

χA=X2(X−u1)(X−u2)

avecu1 u2∈C.
La matriceAest trigonalisable semblable à une matrice triangulaire où figurent
sur la diagonale les valeurs00 u1etu2. Par similitude, on a

trA=u1+u2et trA2=u21+u22

et donc
u1+u2=ketu21+u22=k2+ 6
Enfinu16= 0car sinonu2=ketu22=k26=k2+ 6. De mmeu26= 0.
2.c) Siu1=u2alorsu1=u2=k2etk22 =k2+ 6donck=±i2√3.
La résolution du système
AX=Xk
2
conduit à un espace de solution de dimension 1

Vectt(1 k211)

2.d) Finalement, la matriceAest diagonalisable dansM4(C)si, et seulement si,
k6=±i2√3.

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Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
En ajoutant la troisième colonne à la première puis en retranchant la première
ligne à la première

−λ−2 5 +x x
χA(λ) = 0−2−x−λ−x
0−x3−x−λ

ce qui donne
χA(λ) =−(λ+ 2)λ2+ (2x−1)λ−x−6
Le facteur a pour discriminant

Δ = (2x−1)2+ 4x+ 24 = 4x2+ 25>0

et possède donc deux racines réelles distinctes. Si celles-ci diffèrent de−2, alors la
matriceApossède trois valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.
Il est donc nécessaire que−2soit racine deλ2+ (2x−1)λ−x−6pour que la
matriceAne soit pas diagonalisable. C’est le cas si, et seulement si,x= 0et alors
A=−−355152
0−2 0

On a alors
rg(A+ 2I3) = 2
et doncdimE−2(A) = 1< m−2(A)ce qui entraîne que la matriceAn’est pas
diagonalisable.
FinalementAn’est pas diagonalisable si, et seulement si,x= 0.

Exercice 14 :[énoncé]
a)χA=−X(X−1)(X−a).
Sia6= 01alorsAest diagonalisable.
Sia= 0alors rgA= 2doncdim kerA= 1< m0(A)et la matriceAn’est pas
diagonalisable.
Sia= 1alors rg(A−I) = 2et par le mme argument qu’au dessus,An’est pas
diagonalisable.
On conclut
Ω ={01}
b) Casa= 0
kerA=Vect011etker(A−I3) =Vect213

Par conséquent la matrice suivante convient
=1310
P1 2

0
0
1

Casa= 1
kerA=Vect101etker(A−3) =Vect111
I
Par conséquent la matrice suivante convient
=11001
P0
1 1 1





8

Exercice 15 :[énoncé]
a) On obtient
AtA= (a2+b2+c2+d2)I4
et donc(detA)2=a2+b2+c2+d24.
D’autre part, pourb c dfixés,a7→detAest une fonction polynomiale unitaire de
degré 4 donc

detA=a4+α(b c d)a3+β(b c d)a2+γ(b c d)a+δ(b c d)

La valeur connue de(detA)2permet alors de déterminerα β γ δet d’affirmer

det(A) = (a2+b2+c2+d2)2

Sia2+b2+c2+d26= 0alors rg(A) = 4.
Sia2+b2+c2+d2= 0alors rg(A)63. Ora2+b26= 0donc la sous matrice
a best de rang 2 et donc rg(A)>2.
−b a
On observe de plus que

et

donc rg(A) = 2.

C3=aa2c++dbb2C1+abc2−+ba2Cd2

C4=aa2d+−bb2Cc1+abd2++ba2Cc2

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

b) Par la formule obtenue ci-dessus,χA= ((a−X)2+b2+c2+d2)et donc
χA= ((a−X)2+α2)2
.
Les valeurs propres deAsonta+αeta−α.
Par l’étude qui précède rg(A−(a+α)Id) = 2et rg(A−(a−α)Id) = 2donc

dimEa+α(A) = dimEa−α(A) = 2

et par suiteAest diagonalisable.

Corrections

Exercice 16 :[énoncé]
a) rg(A) = 0sia1=  =an−1= 0et rg(A) = 2sinon.
b) La somme des valeurs propres est nulle.
c) En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant
les mineurs obtenus selon leurk-ieme colonne, on obtient
2
χA= (−1)nXn−2(X2−(a21+∙ ∙ ∙+an−1)).
Sia12+∙ ∙ ∙+an2−16= 0alorsAdeux valeurs propres opposées non nulles et 0admet
pour valeur propre d’espace propre de dimensionn−2doncAest diagonalisable.
Sia21+∙ ∙ ∙+an2−1= 0alors 0 est la seule valeur propre deAetAest
diagonalisable si, et seulement si,A= 0i.e.a1=  =an−1= 0.

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