Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude de matrices diagonalisables

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de matrices diagonalisables Exercice 7 [ 03122 ] [correction] ?Soient p,q∈N et A,B,M∈M (C) avec A,B diagonalisables. Montrern Exercice 1 [ 00796 ] [correction] p q A MB =O ⇒AMB =Ot n nMontrer que si A est diagonalisable alors A l’est aussi. Exercice 2 [ 01673 ] [correction] Soient A∈ GL (K) et B∈M (K).n n On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable. Exercice 3 [ 00797 ] [correction] Soient A ∈M (K), A ∈M (K) et A∈M (K) définie par1 p 2 q p+q A O1A = O A2 Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A et A le sont.1 2 Exercice 4 [ 00798 ] [correction] O InSoient A∈M (K) et B = .n A O a) Etudier les valeurs propres de B en fonction de celles de A. b) On suppose A diagonalisable. B est-elle diagonalisable? Exercice 5 Centrale PC [ 03113 ] [correction] a) Soit D∈M (C). Déterminer l’inverse den I Dn O In n b) Soient A,B∈M (C) diagonalisables telles que SpA∩SpB =∅.n Montrer que pour tout matriceC∈M (C), les matrices suivantes sont semblablesn A C A Onet O B O Bn n Exercice 6 [ 02453 ] [correction] Soient A,B∈M (R) avec B diagonalisable.n Montrer 3 3AB =B A⇒AB =BA Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 53
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Etude de matrices diagonalisables

Exercice 1[ 00796 ][correction]
Montrer que siAest diagonalisable alorstAl’est aussi.

Exercice 2[ 01673 ][correction]
SoientA∈GLn(K)etB∈ Mn(K).
On suppose la matriceABdiagonalisable. Montrer queBAest diagonalisable.

Exercice 3[ 00797 ][correction]
SoientA1∈ Mp(K),A2∈ Mq(K)etA∈ Mp+q(K)définie par
A=A1OA2
O

Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,A1etA2le sont.

Exercice 4[ 00798 ][correction]
SoientA∈ Mn(K)etB=AOIOn.
a) Etudier les valeurs propres deBen fonction de celles deA.
b) On supposeAdiagonalisable.B ?est-elle diagonalisable

Exercice 5Centrale PC[ 03113 ][correction]
a) SoitD∈ Mn(C). Déterminer l’inverse de
D
OInnIn

Enoncés

b) SoientA B∈ Mn(C)diagonalisables telles que SpA∩SpB=∅.
Montrer que pour tout matriceC∈ Mn(C), les matrices suivantes sont semblables
A On
OAnBCetOnB

Exercice 6[ 02453 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)avecBdiagonalisable.
Montrer
AB3=B3A⇒AB=BA

Exercice 7[ 03122 ][correction]
Soientp q∈N?etA B M∈ Mn(C)avecA Bdiagonalisables. Montrer

ApM Bq=On⇒AM B=On

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SiAest diagonalisable alors il existe une matricePinversible telle que
P−1AP=Ddiagonale. En transposant,tPtAt(P−1) =Dc’est-à-dire
QtAQ−1=DavecQ=tPinversible d’inverseQ−1=t(P−1).

Exercice 2 :[énoncé]
Il existe des matricesP∈GLn(K)etD∈Dn(K)telles que

On a alors

puis

AB=P DP−1

A(BA)A−1=P DP−1

BA= (A−1P)D(P−1A) = (A−1P)D(A−1P)−1

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
SoientF1etF2des sous-espaces vectoriels supplémentaires de dimensionpetq
d’unK-espace vectorielE. SoitB= (B1B2)une base adaptée à la
supplémentarité deF1etF2etf1,f2etfles endomorphismes deF1,F2etE
déterminés par Mat(f1B1) =A1, Mat(f2B2) =A2et Mat(fB) =A. Il est clair
que pour toutλ∈K, on aEλ(f) =Eλ(f1)⊕Eλ(f2). En caractérisant la
diagonalisabilité par la somme des dimensions des sous-espaces propres, on
conclut à l’équivalence voulue.

Exercice 4 :[énoncé]
a)X=X1,
X2
BX=λX⇔X2=λX1etAX1=λX2⇔X2=λX1etAX1=λ2X1.
Par conséquentλest valeur propre deBsi, et seulement si,λ2est valeur propre
deA.
b) SiA=OnalorsAest diagonalisable mais pasB.
En effet, 0 est la seule valeur propre deBalors queB6=On.

Exercice 5 :[énoncé]
a) On vérifie



In
On

−1
D
In=OInn

−InD

b) On observe
OInnIDn−1AOnCB OInnIDn=AOn

EB

avecE=AD+C−DB.
Pour conclure, montrons qu’il existeD∈ Mn(C)vérifiantDB−AD=C.
Considérons pour cela l’endomorphismeϕdeMn(C)défini par

ϕ(M) =M B−AM

PourM∈kerϕ, on aM B=AM.
Pour toutXvecteur propre deBassocié à une valeur propreλ, on a

AM X=M BX=λM X

2

Puisqueλest valeur propre deB,λn’est pas valeur propre deAet donc
M X=On1.
Puisqu’il existe une base de vecteurs propres deBet puisque chacun annuleM,
on aM=On.
Ainsi l’endomorphismeϕest injectif, orMn(C)est de dimension finie doncϕest
bijectif. Ainsi il existe une matriceDtelleϕ(D) =Cet, par celle-ci, on obtient la
similitude demandée.

Exercice 6 :[énoncé]
Il existe des matricesP∈GLn(R)etD∈Dn(R)telles que

SiAB3=B3Aalors

puis on obtient

B=P DP−1

AP D3P−1=P D3P−1A

M D3=D3M

avecM=P−1AP.
Notonsmijle coefficient général deMetλ1     λnles coefficients diagonaux de
D.

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La relationM D3=D3Mdonne

∀(i j)∈ {1     n}2 mijλ3j=mijλi3

et donc
3
∀(i j)∈ {1     n}2 mij= 0ouλi3=λj
Comme la fonctionx7→x3est injective surR, on obtient

et donc

puis

∀(i j)∈ {1     n}2 mij= 0ouλi=λj

Exercice 7 :[énoncé]
On peut écrire

M D=DM

AB=BA

A=P DP−1etB=QΔQ−1

avecP Q∈GLn(K)etDΔ
SiApM Qq=Onalors

∈ Mn(K)diagonales.
DpNΔq=On

Corrections

avecN=P−1M Q= (nij).
En notantλ1     λnetµ1     µnles coefficients diagonaux deDetΔ, on obtient

et donc

puis

∀(i j)∈ {1     n}2 λiqnijµqj= 0

∀(i j)∈ {1     n}2 λinijµj= 0

ce qui permet de conclure.

DNΔ =On

3

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