Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Existence de valeur propre sur C

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Existence de valeur propre sur C Exercice 6 X MP [ 02868 ] [correction] 2Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a,b)∈C , f et g dansL(E) tels queExercice 1 [ 00786 ] [correction] f◦g−g◦f =af +bgSoit E unC-espace vectoriel de dimension finie. a) Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre Montrer que f et g ont un vecteur propre commun. b) Observer que l’endomorphisme P(X)7→ (X−1)P(X) deC[X] n’a pas de valeurs propres. Exercice 7 CCP PC [ 03795 ] [correction] K désigneR ouC. Exercice 2 [ 00502 ] [correction] On dit qu’une matrice A∈M (K) vérifie la propriété (P) sin a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre. ∃M∈M (K),∀λ∈K,det(M +λA) = 0n b) Soient u,v deux endomorphismes d’unC-espace vectoriel E de dimension finie non nulle. a) Rappeler pourquoi une matrice deM (C) admet au moins une valeur propre.n On suppose b) Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. u◦v =v◦u Calculer det(I +λT). En déduire que T vérifie la propriété (P)n c) Déterminer le rang de la matriceMontrer que u et v ont un vecteur propre en commun. 0 Ir T = ∈M (K)r n0 0 Exercice 3 [ 00787 ] [correction] Soient A,B∈M (C) vérifiant AB =BA.n d) Soient A vérifiant (P) et B une matrice de même rang que A; montrer Montrer que A et B ont un vecteur propre en commun.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 66
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Existence de valeur propre sur C

Exercice 1 [ 00786 ] [correction] SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie. a) Justifier que tout endomorphisme deEpossède au moins une valeur propre b) Observer que l’endomorphismeP(X)7→(X−1)P(X)deC[X]n’a pas de valeurs propres.

Enoncés

Exercice 2 [ 00502 ] [correction] a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre. b) Soientu vdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielEde dimension finie non nulle. On suppose u◦v=v◦u

Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.

Exercice 3 [ 00787 ] [correction] SoientA B∈ M n (C)vérifiantAB=BA. Montrer queAetBont un vecteur propre en commun.

Exercice 4 [ 00788 ] [correction] Montrer queA B∈ M n (C)ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existeU∈ M n (C)non nulle vérifiantU A=BU.

Exercice 5Centrale MP [ 02441 ] [correction] SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,u vdansL(E)eta b dansC. On suppose u◦v−v◦u=au+bv

a) On étudie le casa=b= 0. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. b) On étudie le casa6= 0,b= 0. Montrer queuest non inversible. Calculeru n ◦v−v◦u n et montrer queuest nilpotent. Conclure queuetvont un vecteur propre en commun. c) On étudie le casa b6= 0. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun.

Exercice 6X MP [ 02868 ] [correction] SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,(a b)∈C 2 ,fetg dansL(E)tels que f◦g−g◦f=af+bg

Montrer quefetgont un vecteur propre commun.

Exercice 7CCP PC [ 03795 ] [correction] KdésigneRouC. On dit qu’une matriceA∈ M n (K)vérifie la propriété(P)si

∃M∈ M n (K)∀λ∈Kdet(M+λA)6= 0

a) Rappeler pourquoi une matrice deM n (C)admet au moins une valeur propre. b) SoitTune matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Calculerdet(I n +λT). En déduire queTvérifie la propriété(P) c) Déterminer le rang de la matrice T r =  0 0 I 0 r  ∈ M n (K)

d) SoientAvérifiant(P)etBune matrice de mme rang queA; montrer

∃(P Q)∈GL n (K) 2  B=P AQ

1

et en déduire queBvérifie(P). e) Conclure que, dansM n (C), les matrices non inversibles vérifient(P)et que ce sont les seules. f) Que dire des cette propriété dans le casM n (R)(on distingueranpair etn impair) ?

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD