Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme annulateur, polynôme minimal

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Polynôme annulateur, polynôme minimal Exercice 6 [ 00826 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E. Si u admet un polynôme minimal Π et si F est un sous-espace vectoriel stableuExercice 1 [ 02916 ] [correction] par u alors montrer que u admet un polynôme minimal et que celui-ci divise Π .F uSoit M∈M (K) une matrice triangulaire par blocs de la formen A C Exercice 7 [ 00827 ] [correction]M = avec A∈M (K) et B∈M (K)p qO B 2Montrer qu’une matrice A∈M (K) de polynôme minimal (X− 1) est semblablen à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme On suppose connus deux polynômes P et Q∈K [X] annulateurs de A et B respectivement. 1 1 ( 1 ) ou Exprimer en fonction de P et Q un polynôme annulateur de M. 0 1 Exercice 8 [ 00829 ] [correction] Exercice 2 [ 00822 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E tels que Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). f◦g−g◦f =I. p n n n−1Justifier l’existence d’un entier p> 0 tel que la famille (Id,u,...,u ) soit liée. a) Montrer que, pour tout entier n> 1, on a f ◦g−g◦f =nf . En déduire que u possède un polynôme annulateur non nul. b) En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes f et g tels que f◦g−g◦f =I. 0c) Montrer que dans E =K [X] les endomorphismes f et g définis par f(P ) =P Exercice 3 [ 00823 ] [correction] et g(P ) =XP conviennent.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Polynôme annulateur, polynôme minimal

Exercice 1[ 02916 ][correction]
SoitM∈ Mn(K)une matrice triangulaire par blocs de la forme
M=CABOavecA∈ Mp(K)etB∈ Mq(K)

On suppose connus deux polynômesPetQ∈K[X]annulateurs deAetB
respectivement.
Exprimer en fonction dePetQun polynôme annulateur deM.

Exercice 2[ 00822 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).
Justifier l’existence d’un entierp>0tel que la famille(Id u     up)soit liée.
En déduire queupossède un polynôme annulateur non nul.

Enoncés

Exercice 3[ 00823 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E)tel que les espaces
ker(u◦(u−Id))etker(u◦(u+Id))soient supplémentaires.
Montrer queuest une symétrie vectorielle.

Exercice 4[ 00824 ][correction]
Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectoriel admettant un polynôme
minimalΠuetP∈K[X].
Montrer queP(u)est inversible si, et seulement si,PetΠusont premiers entre
eux.
Observer qu’alorsP(u)−1∈K[u].

Exercice 5[ 00825 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).
On suppose qu’il existe deux sous-espaces vectoriels supplémentairesFetG
stables paru.
Etablir queΠu=ppcm(ΠuFΠuG)(en notantΠvle polynôme minimal d’un
endomorphismev).

1

Exercice 6[ 00826 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielE.
Siuadmet un polynôme minimalΠuet siFest un sous-espace vectoriel stable
parualors montrer queuFadmet un polynôme minimal et que celui-ci diviseΠu.

Exercice 7[ 00827 ][correction]
Montrer qu’une matriceA∈ Mn(K)de polynôme minimal(X−1)2est semblable
à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme
( 1 )ou1011

Exercice 8[ 00829 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielEtels que
f◦g−g◦f=I.
a) Montrer que, pour tout entiern>1, on afn◦g−g◦fn=nfn−1.
b) En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes
fetgtels quef◦g−g◦f=I.
c) Montrer que dansE=K[X]les endomorphismesfetgdéfinis parf(P) =P0
etg(P) =XPconviennent.

Exercice 9Centrale MP[ 02393 ][correction]
Existe-t-il dansMn(R)une matrice de polynôme minimalX2+ 1?

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02681 ][correction]
SoitEun espace vectoriel surKetaun élément non nul deK. Soitf∈ L(E)tel
quef3−3af2+a2f= 0. Est-il vrai quekerfet Imfsont supplémentaires ?

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02708 ][correction]
Soit
a.0∙. ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙.∙
0 .. . .
. .
.
..a0b

.
A=
.
.
0
b

.
.
.
.
.
.
0

0
b
.
.
.
∙ ∙ ∙

a+b
0
∙ ∙ ∙

0
a
.
.
.
∙ ∙ ∙

0.b
. .0
.
.
..
.∈M2n+1(C)
.
.
..
.
.0
.
0a

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Quels sont lesP∈C[X]tels queP(A) = 0?

Enoncés

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02727 ][correction]
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie etf∈ L(E)de polynôme minimal
Πf. Montrer l’existence dex∈Etel que{P∈C[X]P(f)(x) = 0}soit
l’ensemble des multiples deΠf.

Exercice 13X MP[ 02986 ][correction]
SoientNune norme surCnetkkla norme surMn(C)qui lui est associée.
SoitA∈ Mn(C)telle que 1 est valeur propre deAetkAk61.
Montrer que 1 est racine simple du polynôme minimal deA.

Exercice 14X MP[ 03073 ][correction]
Etant donnéEun espace vectoriel de dimension finie,uun endomorphisme deE
etλun scalaire, on dit queλest séparable si le noyau et l’image deu−λId sont
supplémentaires.
a) Montrer que tout scalaire non séparable deuen est une valeur propre.
b) Montrer qu’un endomorphisme scindé est diagonalisable si, et seulement si,
toutes ses valeurs propres sont séparables.
c) Caractériser la séparabilité d’une valeur propre à l’aide du polynôme minimal
deu.
d) Soit, avec ces notations, l’endomorphismemdeL(E)qui àvassocieu◦v.
Comparer l’ensembles ses scalaires séparables relativement àmavec celui des
scalaires séparables relativement àu.

Exercice 15X MP[ 01353 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etu∈ L(E)nilpotent. On suppose qu’il existe
P∈K[X]tel queP(u) = 0. SiQ∈K[X], existe-t-ilR∈K[X]tel que
R(Q(u)) = 0?

Exercice 16[ 02442 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension quelconque.
On suppose qu’il existe un polynôme annulateurPdefvérifiant

P(0) = 0etP0(0)6= 0

Montrer que l’image et le noyau defsont supplémentaires dansE.

Exercice 17[ 03277 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel.
On suppose qu’il existe un polynôme annulateur deudont 0 est racine simple.
Montrer
keru= keru2

2

Exercice 18[ 03465 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetP∈K[X]annulateur deu.
On suppose qu’on peut écrireP=QRavecQetRpremiers entre eux.
Etablir
ImQ(u) = kerR(u)

Exercice 19CCP MP[ 02501 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension quelconque,u∈ L(E)etP∈K[X]
ayant 0 comme racine simple et tel queP(u) = 0.
a) Montrer
keru2= keruet Imu2=Imu

b) En déduite

E= keru⊕Imu

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On aP(M) =P(AO)P(B?)=?OO?et
Q(M) =Q(AO)Q(B?)=?OO?
donc(P Q)(M) =P(M)Q(M) =O?O? O?
Ainsi le polynômeP Qest annulateur deM.

?
O

=On.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Les vecteurs de(Id u     up)évoluent dansL(E)qui est de dimensionn2. Pour
p=n2la famille est assurément liée. Une relation linéaire donne alors
immédiatement un polynôme annulateur non nul.

Exercice 3 :[énoncé]
u◦(u−Id)◦(u+Id)s’annule surker(u◦(u−Id))et surker(u◦(u+Id))donc
surker(u◦(u−Id)) + ker(u◦(u−Id)) =Eet ainsiu◦(u2−Id) = 0.
Six∈kerualorsx∈ker(u◦(u−Id))∩ker(u◦(u+Id)) ={0}donckeru={0}
etu∈GL(E).
Par suiteu2−Id=u−1◦u◦(u2−Id) = 0et doncu2=Id. Ainsiuest une
symétrie vectorielle.

Exercice 4 :[énoncé]
SiPetΠusont premiers entre eux alors par l’égalité de Bézout, il existe
U V∈K[X]tels queU P+VΠu= 1doncU(u)P(u) =IdE. Aussi
P(u)U(u) =IdEdoncP(u)est inversible etP(u)−1=U(u)∈K[u].
SiPetΠune sont par premiers entre eux alors on peut écrireΠu=QDavecDle
pgcd dePetΠu. On aΠu|P QdoncP(u)Q(u) = 0alors queQ(u)6= 0puisque
degQ <deg Πu. Par suiteP(u)n’est pas inversible.

Exercice 5 :[énoncé]
Πuannuleudonc aussiuFet ainsiΠuF|Πu. De mmeΠuG|Πudonc
ppcm(ΠuFΠuG)|Πu.
Inversement siP=ppcm(ΠuFΠuG)alors∀x∈F,P(u)(x) = 0et∀x∈G,
P(u)(x) = 0donc∀x∈E=F⊕G,P(u)(x) = 0doncPannuleupuisΠu|P.

Exercice 6 :[énoncé]
Πuannuleudonc aussiuFpuis la conclusion.

3

Exercice 7 :[énoncé]
ConsidéronsB=A−In. On aB2=On.
Soitul’endomorphisme deKndont la matrice estBdans la base canonique.
2˜0donc Imu⊂keru.
On au=
Soit(e1     ep)une base de Imucomplétée en(e1     ep ep+1     eq)base de
keru.
Pour toutj∈ {1     p}, considéronsεj∈Etel queu(εj) =ej.
Supposonsλ1ε1+∙ ∙ ∙+λpεp+µ1e1+∙ ∙ ∙+µqeq= 0.
On appliquantuà cette relation, on obtientλ1e1+∙ ∙ ∙+λpep= 0donc
λ1=  =λp