Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynômes annulateurs et valeurs propres

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Polynômes annulateurs et valeurs propres Exercice 1 [ 00830 ] [correction] Soit P un polynôme annulateur d’un endomorphisme f. Montrer que si λ est valeur propre de f alors P (λ) = 0. Exercice 2 [ 00831 ] [correction] ˜ ˜Pour f∈F(R,R), on note f :x7→f(−x). L’application ϕ :f7→f est clairement un endomorphisme involutif deF(R,R). Quelles en sont les valeurs propres? Exercice 3 [ 00832 ] [correction] Soit T :R [X]→R [X] l’endomorphisme défini par T (P ) =P (1−X). a) Montrer que T est un automorphisme. b) Déterminer valeurs propres de T. Exercice 4 [ 00833 ] [correction] Montrer que si un endomorphisme u d’unK-espace vectoriel E admet un polynôme minimal Π alors les valeurs propres de u sont exactement les racinesu de son polynôme minimal. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02715 ] [correction] t 2Trouver les M deM (R) telles que M =M et que M n’ait aucune valeurn propre réelle. Exercice 6 [ 00783 ] [correction] Soit A∈M (C) nilpotente.n a) Calculer χ .A b) Même question avec A∈M (R).n Exercice 7 CCP MP [ 03191 ] [correction] a) Montrer que si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme f alors P (λ) = 0 pour toute valeur propre λ de f. b) Montrer que si f vérifie 3 2f + 2f −f− 2Id = 0 alors f est bijectif. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Polynômes annulateurs et valeurs

propres

Exercice 1[ 00830 ][correction]
SoitPun polynôme annulateur d’un endomorphismef.
Montrer que siλest valeur propre defalorsP(λ) = 0.

Enoncés

Exercice 2[ 00831 ][correction]
˜ ˜
Pourf∈ F(RR), on notef:x7→f(−x). L’applicationϕ:f7→fest clairement
un endomorphisme involutif deF(RR) ?. Quelles en sont les valeurs propres

Exercice 3[ 00832 ][correction]
SoitT:R[X]→R[X]l’endomorphisme défini parT(P) =P(1−X).
a) Montrer queTest un automorphisme.
b) Déterminer valeurs propres deT.

Exercice 4[ 00833 ][correction]
Montrer que si un endomorphismeud’unK-espace vectorielEadmet un
polynôme minimalΠualors les valeurs propres deusont exactement les racines
de son polynôme minimal.

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02715 ][correction]
Trouver lesMdeMn(R)telles quetM=M2et queMn’ait aucune valeur
propre réelle.

Exercice 6[ 00783 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)nilpotente.
a) CalculerχA.
b) Mme question avecA∈ Mn(R).

Exercice 7CCP MP[ 03191 ][correction]
a) Montrer que siPest un polynôme annulateur d’un endomorphismefalors
P(λ) = 0pour toute valeur propreλdef.
b) Montrer que sifvérifie
f3+ 2f2−f−2Id= 0
alorsfest bijectif.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitxvecteur propre associé à la valeur propreλ.
P(f)(x) =P(λ)xorP(f) = 0etx6= 0doncP(λ) = 0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
ϕ2=Id doncX2−1est annulateur deϕ. Les valeurs propres deϕne peuvent
tre que 1 et−1. En prenant pourfune fonction paire et une fonction impaire
non nulle, on montre que 1 et−1sont effectivement valeurs propres deϕ.

Exercice 3 :[énoncé]
a) On vérifierT2=Id doncTest un automorphisme etT−1=T.
b) PuisqueTannuleX2−1, SpT⊂ {1−1}puis égale car par exemple 1 est
vecteur propre associé à la valeur propre 1 etX−12est vecteur propre associé à
la valeur propre−1
.

Exercice 4 :[énoncé]
Les valeurs propres deusont racines des polynômes annulateurs donc du
polynôme minimal.
Soitaune racine deΠu. On aΠu= (X−a)PetP(u)6= 0carPne peut tre
annulateur deu. Poury∈Im(P(u)) {0}, il existex∈E,y=P(u)(x)et
Π(u)(x) = 0donc(u−aId)(y) = 0avecy6= 0. Ainsiaest valeur propre deu(ety
est vecteur propre associé).

Exercice 5 :[énoncé]
SoitMsolution.M4=t(M2) =MdoncX4−Xest annulateur deMet puisque
0 et 1 ne sont pas valeurs propres deM,X3−1puisX2+X+ 1sont annulateurs
deM.
Ainsi, on peut affirmerM3=tM M=I(ainsiM∈ On(R)) etM2+M+I= 0.
PourX6= 0,P=Vect(X M X)plan (car il n’y a pas de valeurs propresest un
réelles) stable parM(carM2=−M−I). La restriction deMà ce plan est un
automorphisme orthogonal sans valeur propre, c’est donc une rotation et celle-ci
est d’angle±2π3carM3=In. De plus ce plan est aussi stable parM2=tM
doncP⊥est stable parMce qui permet de reprendre le raisonnement à partir
d’unX0∈P⊥ {0}. Au final,Mest orthogonalement semblable à une matrice

diagonale par blocs et aux blocs diagonaux égaux à
−√32
√−3122−12.
La réciproque est immédiate.

−12
−√32

√32ou
−12

Exercice 6 :[énoncé]
a) PuisqueAest nilpotente,Ane peut avoir que des valeurs propres nulles. Les
valeurs propres étant les racines du polynôme caractéristique et ce dernier étant
scindé surC,χA= (−1)nXn.
b) PourA∈ Mn(R), on a aussiA∈ Mn(C)et le polynôme caractéristique est
calculé par la mme formule dans les deux cas.

2

Exercice 7 :[énoncé]
a) Soitxun vecteur propre associé à la valeur propreλ. On af(x) =λxavec
x6= 0E. Par compositionfn(x) =λnxpuisP(f)(x) =P(λ)x. OrP(f)(x) = 0Eet
x6= 0EdoncP(λ) = 0.
b) Le polynômeX3+ 2X2−X−2est annulateur defet 0 n’en est pas racine
donc0∈Spf. Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon,
on exploite
f◦(21f2+ 2f−Id)=12(f2+ 2f−Id)◦f=Id

pour conclure.

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