Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Trigonalisation

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Trigonalisation

Exercice 1[ 00816 ][correction]
Montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable.

Exercice 2[ 00817 ][correction]
SoitA∈ Mn(K). On supposeχAscindé.
a) Justifier queAest trigonalisable.
b) Etablir que pour toutk∈N,
Sp(Ak) =λkλ∈Sp(A)

Exercice 3[ 00818 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)de polynôme caractéristique

n
Y(X−λi)
i=1

Déterminer une matrice de polynôme caractéristique

n
Y(X−λip)
i=1

Exercice 4[ 00819 ][correction]
Montrer que pour toutA∈ Mn(C),det(exp(A)) = exp(trA).

Exercice 5[ 03120 ][correction]
SoientA∈ Mn(K)etP∈K[X].
On suppose le polynôme caractéristique deAde la forme

n
χA(X) = (−1)nY(X−λk)
k=1

Exprimer le polynôme caractéristique deP(A).

Enoncés

Exercice 6[ 00820 ][correction]
Soit
2−1−1
A=2 1−−22
3−1
a) Calculer le polynôme caractéristique deA.
b) Trigonaliser la matriceA.

Exercice 7[ 00821 ][correction]
Soit
A=−−1101
1 1
a) Calculer le polynôme caractéristique deA.
b) Trigonaliser la matriceA.

1
1
2





Exercice 8Centrale MP[ 02389 ][correction]
a) SoientAetBdansM2(K)telles queAB=BA. Montrer queB∈K[A]ou
A∈K[B].
b) Le résultat subsiste-t-il dansM3(K)?

1

Exercice 9Centrale MP[ 02395 ][correction]
SoitEun espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soientuetv
des endomorphismes deE; on pose[u v] =uv−vu.
a) On suppose[u v] = 0. Montrer queuetvsont cotrigonalisables.
b) On suppose[u v] =λuavecλ∈C?. Montrer queuest nilpotent et queuetv
sont cotrigonalisables.
c) On suppose l’existence de complexesαetβtels que[u v] =αu+βv. Montrer
queuetvsont cotrigonalisables.

Exercice 10X MP[ 02954 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)telle que tr(Am)→0quandm→+∞.
Montrer que les valeurs propres deAsont de module<1

Exercice 11[ 03284 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C)vérifiantAB=On.
a) Montrer que les matricesAetBont un vecteur propre en commun.
b) Etablir queAetBsont simultanément trigonalisable

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 12[ 03479 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C)vérifiant

∀m∈Ntr(Am) =tr(Bm)

Montrer que les matricesAetBont les mmes valeurs propres.

Exercice 13CCP MP
Trigonaliser la matrice

[ 03583 ]

[correction]
0

A=

1
0
0

0
1

0
−1
2





Exercice 14[ 03551 ][correction]
Expliquer pourquoi le déterminant deA∈ Mn(R)est le produit des valeurs
propres complexes deA, valeurs propres comptées avec multiplicité.

Exercice 15CCP MP
Montrer que la matrice

[ 02526 ][correction]
−1−235

−5
7
4

−2
−8
7





est trigonalisable et préciser la matrice de passage.

Enoncés

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Son polynôme caractéristique est scindé.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)Aest annule le polynômeχAqui est scindé doncAest trigonalisable.
b) SoitTune matrice triangulaire semblable àA. Les coefficients diagonaux deT
sont les valeurs propres deAcomptées avec multiplicité. CependantAkest
semblables àTkdonc les valeurs propres deAksont les coefficients diagonaux de
Tkor ceux-ci sont les puissances d’ordrekdes coefficients diagonaux deT
c’est-à-dire des valeurs propres deA.

Exercice 3 :[énoncé]
Il est entendu, qu’ici, le polynôme caractéristique d’une matrice carréeAest
définie par
χA= det(XId−A)
La matriceAest semblable à une matrice triangulaire de la forme
λ01...?λn
et doncAqest semblable à
λq?

1
.
.
.
0λqn
Ainsi le polynôme caractéristique deAqest celui voulu.

Exercice 4 :[énoncé]
Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure de la forme
λ01...λ?n.
exp(A)est alors semblable à une matrice de la forme
(pxe0λ1)...exp?(0λn).
Cela suffit pour conclure.

Exercice 5 :[énoncé]
Puisque le polynômeχAest scindé, la matriceAest trigonalisable. Plus
précisément, la matriceAest semblable à une matrice de la forme
λ1?
.n
.
.
(0)λ

La matriceP(A)est alors semblable à
P(
(0λ)1).

et donc

?
.
.
P(λn)



n
χP(A)= (−1)nY(X−P(λk))
k=1

Exercice 6 :[énoncé]
a)χA(X) =−(X+ 1)(X−1)2.
b)E−1=Vectt1 1 2,E1=Vectt1 0 1.
La matriceAn’est pas diagonalisable mais on peut la rendre semblable à la
matrice
T=−001100110.
On prendC1=t1 1 2,C2=t1 0 1.
On détermineC3tel queAC3=C3+C2.C3=t0−1 0convient.
1 1 0
P=2 1 0, on aP−1AP=T.
Pour1 0−1

Exercice 7 :[énoncé]
a)χA(X) =−(X−1)3
.
b)E1=Vectt1 0 1.
La matriceAn’est pas diagonalisable mais on peut la rendre semblable à la
matrice
T=100111001.

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

On prendC1=t1 0 1.
On détermineC2tel queAC2=C2+C1.C2=t0 1 0convient.
On détermineC3tel queAC3=C3+C2.C3=t0−1 1convient.
PourP=101010−10, on aP−1AP=T.
1

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) Commençons par quelques cas particuliers.
SiA=λ00λalorsA∈K[B]en s’appuyant sur un polynôme constant.
SiA=λ01λ0avecλ16=λ2alors les matrices qui commutent avecAsont
2
diagonales doncBest de la formeα01α02. En considérantP=aX+btel
queP(λ1) =α1etP(λ2) =α2, on aB=P(A)∈K[A].
SiA=λ0λµavecµ6= 0, une étude de commutativité par coefficients
inconnus donneB=α0βα. PourP=βµX+γavecλµβ+γ=α, on a
B=P(A)∈K[A].
Enfin, dans le cas général,Aest semblable à l’un des trois cas précédent via une
0
matriceP∈GL2(K). La matriceB0=P−1BPcommute alors avecA=P−1AP
doncB0est polynôme enA0et par le mme polynômeBest polynôme enA.
b) On imagine que non, reste à trouver un contre-exemple.
Par la recette dite des « tâtonnements successifs »ou saisi d’une inspiration
venue d’en haut, on peut proposer
A=000110101etB=001110
0 1 0

On vérifie queAetBcommutent et ne sont ni l’un ni l’autre polynôme en l’autre
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice
triangulaire supérieure.

Exercice 9 :[énoncé]
a)uadmet une valeur propreλet le sous-espace propre associé est stable parv.
Cela assure queuetvont un vecteur propre en commune1. On complète celui-ci
en une base(e1 e2     en). Les matrices deuetvdans cette base sont de la

4

formeA=0A?λ0etB=0B?µ0. Considérons les endomorphismesu0et
v0deE0=Vect(e2     en)représentés parA0etB0dans(e2     en).AB=BA
donneA0B0=B0A0et donc[u0 v0] = 0. Cela permet