Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Etude du groupe symétrique

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction] Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction] 2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c . Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable par σ. Exercice 8 [ 02231 ] [correction] Exercice 2 [ 02225 ] [correction] Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ). DansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle : Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.n n c = a a ... a1 2 p −1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera. Exercice 3 [ 02226 ] [correction] Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 a) σ = b) σ = 3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6 Exercice 4 [ 02227 ] [correction] ?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 n a) σ = . n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2n b) σ = . 1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2n Exercice 5 [ 02228 ] [correction] Soit n> 2 et τ une transposition deS .n a) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n n b) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Etude du groupe symétrique

Enoncés

Exercice 1[ 02224 ][correction]
Soientnun entier supérieur à 2,(i j)∈ {12     n}2tel quei6=jetσ∈Sn.
Montrer queσetτ=i jcommutent si, et seulement si,{i j}est stable par
σ.

Exercice 2[ 02225 ][correction]
DansSnavecn>2, on considère une permutationσet unp-cycle :
c=a1a2   ap

Observer que la permutationσ◦c◦σ−1est unp-cycle qu’on précisera.

Exercice 3[ 02226 ][correction]
Déterminer la signature de :
1 2 3 4 5 6 7 8
a)σ=3 5 4 8 7 6 2 1



b)σ=

1
1

2
3

3
2

4
7

5
4

Exercice 4[ 02227 ][correction]
Soitn∈N?Déterminer la signature de la permutation suivante :.
a)σ=1n n2−1∙∙∙∙∙∙n−21n1.
n−1 2n
b)σ=3235112nn−1n+12n42+22n−2 2n.

6
8

7
5

8
6



Exercice 5[ 02228 ][correction]
Soitn>2etτune transposition deSn.
a) Montrer que l’applicationσ7→τ◦σest une bijection deSnversSn.
b) En déduire le cardinal de l’ensembleAnformé des permutations paires deSn.

Exercice 6[ 02229 ][correction]
Dans(Sn◦)on considère les permutations
τ=1 2etσ=1 2 n  



a) Calculerσk◦τ◦σ−kpour06k6n−2.
b) En déduire que tout élément deSnpeut s’écrire comme un produit deσet de
τ.

Exercice 7[ 02230 ][correction]
Soitn>5.
Montrer que sia b ceta0b0c0sont deux cycles d’ordre 3 deSn,
alors il existe une permutationσ, paire, telle que
σ◦a b c◦σ−1=a0b0c0.

Exercice 8[ 02231 ][correction]
Soitn>2etcla permutation circulairec= ( 1 2   n−1n).
Déterminer toutes les permutationsσdeSnqui commutent avecc.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Si{i j}est stable parσalors{σ(i) σ(j)}={i j}.
∀x ∈ {i j},(σ◦τ)(x) =σ(x) = (τ◦σ)(x).
Pourx=ialors(σ◦τ)(i) =σ(j) = (τ◦σ)(i)et pourx=j,
(σ◦τ)(j) =σ(i) = (τ◦σ)(j).
Par suiteσ◦τ=τ◦σ.
Inversement, siσ◦τ=τ◦σalorsσ(i) = (σ◦τ)(j) = (τ◦σ)(j) =τ(σ(j)).
Puisqueτ(σ(j))6=σ(j)on aσ(j)∈ {i j}. De mmeσ(i)∈ {i j}et donc{i j}
stable parσ.

Exercice 2 :[énoncé]
Pourx=σ(ai), on a(σ◦c◦σ−1)(x) =σ(ai+1)(en posantap+1=a1).
Pourx∈{σ(a1)     σ(ap)}, on a(σ◦c◦σ−1)(x) =σ◦σ−1(x) =xcar
c(σ−1(x)) =σ−1(x)puisqueσ−1(x)∈ {a1     ap}. Ainsi
σ◦c◦σ−1=σ(a1)σ(a2) σ  (ap)

Exercice 3 :[énoncé]
a)I(σ) = 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17doncε(σ) =−1.
b)I(σ) = 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 6doncε(σ) = 1.

Exercice 4 :[énoncé]
a)I(σ) = (n−1) + (n−2) +∙ ∙ ∙+ 1 + 0 =n(n2−1)doncε(σ) = (−1)n(n2−1).
b)I(σ) = 0 + 1 + 2 +∙ ∙ ∙+ (n−1) + 0 +∙ ∙ ∙+ 0 =n(n2−1)doncε(σ) = (−1)n(n2−1).

Exercice 5 :[énoncé]
a) L’applicationσ7→τ◦σest involutive, donc bijective.
b) L’applicationσ7→τ◦σtransformeAnenSnAndonc CardAn=CardSnAn,
orSnest la réunion disjointe deAnet deSnAndonc suite
CardAn=12CardSn=n2!.

Exercice 6 :[énoncé]
a)σ◦τ◦σ−1=2 3,σ2◦τ◦σ−2=3 4,...,
σk◦τ◦σ−k=k+ 1k+ 2.

2

b) Il est « connu »que toute permutation deSnpeut s’écrire comme produit de
transpositions de la formek k+ 1. Ces dernières peuvent s’écrire comme
produit deσ, deτ, et deσ−1. Orσn=Id et doncσ−1=σn−1et par conséquent,
σ−1peut s’écrire comme produit deσ.

Exercice 7 :[énoncé]
Notons queσ◦a b c◦σ−1=σ(a)σ(b)σ(c).
Soitσ:Nn→Nnune permutation définie par :σ(a) =a0 σ(b) =b0etσ(c) =c0.
Siσest paire alors le problème est résolu.
Siσest impaire alors soitc6=d∈Nn {a b c}etτ=c d.
σ◦τest une permutation paire satisfaisante.

Exercice 8 :[énoncé]
Pour commencer, notons que, pour toutk∈ {1     n}ck−1(1) =ket par
conséquentc−(k−1)(k) = 1.
Soitσune permutation commutant aveccn.
Posonsk=σ(1)∈ {12  n}ets=c−(k−1)◦σde sorte ques(1) = 1.
Commeσetccommutent,setccommutent aussi et on a pour tout26i6n,
s=c(i−1)◦s◦c−(i−1)d’où
s(i) =c(i−1)◦s◦c−(i−1)(i) =σ(i−1)◦s(1) =σ(i−1)(1) =icarc−(i−1)(i) = 1.
Par conséquents=Id puisσ=ck.
Inversement les permutations de la formeckavec16k6ncommutent avecc.

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