Sujet : Analyse, Calcul de primitives, Fonctions rationnelles en sin et cos

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions rationnelles

en

sin

et

cos

Exercice 1[ 01237 ][correction]
Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de
validité :

sx
a))1ocs+1oc2x
ccos4x

b)s+sinin1x2x
1
d)cos3x

Exercice 2[ 01238 ][correction]
Déterminer une primitive surRde la fonction

Exercice 3
Calculer :

a)

[ 01239 ][correction]

Z0π22 +dcxosx

b)

1
x7→
3 + cosx

dx
Z0π41 + sinxcosx

Exercice 4[ 01240 ][correction]
Pourα∈]0 π[, calculer
Zπ2soc+1nisααcosxdx

0

c)

Z2

0

πdx
1 + cos2

x

Enoncés

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SurR,
Rosc1c+sox2xdxu=s=inxR2d−uu2=12√2Ru1+√2−u−1√2du=12√2lnsniisnxx−+√√22+Cte.
b) SurR,Rinss+1nix2xdxu=c=osxR−2−duu2=2√21lnsococsxx+√√−22+Cte.
c) SurIk=π2+kπ2π+ (k+ 1)π k∈Z,
Rcods4 ux x=t=anxR1+u2du= tanx+13tan3x+Cte.
d) SurIk=π2+kππ2+ (k+ 1)π k∈Z
Rdcso3xx=Rc(1−os(insx2)d(xx))2t=s=inxR(1−dtt2)2=14R1−1t+(1−1t)2++11t+1+(1t)2dt
doncRcos3x=14ln11−insin+sxx+ocs21isn2xx+Ct
dx e

Exercice 2 :[énoncé]
SurIk= ]−π+ 2kπ π+ 2kπ[aveck∈Z,
Zdx2Zt2d+t2 =√taann21tcra√x22+Cte
=
3 + cosxt=tanx
La fonctionx7→s1+3ocxest définie et continue surR, cherchonsFprimitive de
celle-ci surR.
Pour toutk∈Z,Fest primitive surIk, donc il existeCk∈Rtel que surIk,
1
a
F(x) =√2natnatcr√x2+2Ck

Par limite à droite et à gauche enπ+ 2kπ,
π
F(π+ 2kπ) = 2√+2Ck=−2π√+2Ck+1

Par suite

∀k∈Z Ck=k√π+C0
2

On peut résumer :
2
∃C0∈R∀x∈R F(x) =(√1k2+a1rπc+ntaCan0t√x2+k√π2+C0ssiixx∈=Ik
22√2π+ 2kπ

Ceci détermine la fonctionFà une constante près.
Inversement, étant assuré de l’existence deF, on peut affirmer que de telles
fonctions sont bien primitives dex7→13c+sox.

2

Exercice 3 :[énoncé]
12dt π
π+c22doxsx=R0 3+t2=3√3.
a)R0t=tan2x
1π
b)R0π4n1+sidxxcostx=t=anxR0t2+dtt+1=3√3.
c) Par la relation de Chasles
I=Z20πd1+coxs2x=Z0π21 +dcxos2x+Zππ21 +dcxos2x+Zπ3π21 +dcxos2x+Z32ππ21 +dcxos2
Via des changements de variable affines adéquates :
π2dx
I= 4Z01 + cos2x

Sur]−π2 π2[,
Zd+1cxos2xt=t=anxZt2d+t2 =√tnata1cra2√n2x+C
SoitFune primitive dec+so112xsur[0 π2].
Il existeC∈Rtel queF(x) =√12arctanta√2nx+Csur[0 π2[et par continuité
F(π2) = 2π√2+C
FinalementR0π2d1c+xos2x= [F(x)]π02=2√π2puisI=√2π.

Exercice 4 :[énoncé]
Par le changement de variablet= tanx2
Z0π2snsico1+ααcosxdx=Z01+1ocsisnαα11−+tt221+2dtt2=Z10(1 + cosα(+)nis12α−cosα)t2dt

donc
Z0π2s+1ocisnααcosxdx 2= 1−cosnsiααr11−osc+cosαα"arctanr11−cc+sosoαtα#01=√21−scoinαs2αarct
et finalement
in2α2
Z0π2isn+1ocsααcosxdx arctan= 2socss2α2 =α

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