Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Continuité et compacité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité et compacité Exercice 6 [ 01177 ] [correction] Soit f :A⊂E→F avec F espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que f est bornée et queExercice 1 [ 01172 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et u∈L(E,F ). Γ ={(x,y)∈A×F/y =f(x)}f Montrer qu’il existe un vecteur x ∈E unitaire tel que0 est une partie fermée de E×F. kuk =ku(x )k0 Montrer que f est continue. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02775 ] [correction]Exercice 2 [ 01173 ] [correction] Soient (E,k.k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E etSoient E et F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. f :K→K telle queSoient K un compact de E et f :K→F une application continue injective. a) On pose L =f(K). Montrer que L est compact. 2−1 ∀(x,y)∈K ,x =y⇒kf(x)−f(y)k 0 x∈K,y∈L convexe non vide de E stable par u. ?Si n∈N , soit n−1X1 iu = unExercice 4 [ 01175 ] [correction] n i=0Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. a) Montrer que :a) Soit A une partie non vide de E. Montrer que l’application x7→d(x,A) est ∀n∈N,u (C)⊂Ccontinue sur E. n b) Soit K un compact non vide inclus dans un ouvert U. b) Soit x∈u (C). Proposer un majorant de N (x−u(x))n Montrer qu’il existe α> 0 tel que∀x∈K,B(x,α)⊂U. c) Montrer que \ u (C) =∅n ?n∈N Exercice 5 [ 01176 ] [correction] d) Montrer que u possède un point fixe dans K. Soit K un compact d’un espace vectoriel normé E de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Nombre de lectures: 58
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Continuité et compacité

Enoncés

Exercice 1[ 01172 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé de dimension finie non nulle etu∈ L(E F).
Montrer qu’il existe un vecteurx0∈Eunitaire tel que

kuk=ku(x0)k

Exercice 2[ 01173 ][correction]
SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimensions finies.
SoientKun compact deEetf:K→Fune application continue injective.
a) On poseL=f(K). Montrer queLest compact.
b) Montrer quef−1:L→Kest continue.

Exercice 3[ 01174 ][correction]
SoientKetLdeux compacts non vides et disjoints.
Montrer
d(K Lf
) =x∈iKny∈Lky−xk>0

Exercice 4[ 01175 ][correction]
SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie.
a) SoitAune partie non vide deE. Montrer que l’applicationx7→d(x A)est
continue surE.
b) SoitKun compact non vide inclus dans un ouvertU.
Montrer qu’il existeα >0tel que∀x∈K B(x α)⊂U.

Exercice 5[ 01176 ][correction]
SoitKun compact d’un espace vectoriel norméEde dimension finie.
Soitf:K→Kune application telle que

∀x y∈K x6=y⇒d(f(x) f(y))< d(x y)

Montrer quefadmet un unique point fixe.

Exercice 6[ 01177 ][correction]
Soitf:A⊂E→FavecFespace vectoriel normé de dimension finie.
On suppose quefest bornée et que

Γf={(x y)∈A×F y=f(x)}

est une partie fermée deE×F.
Montrer quefest continue.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02775 ][correction]
Soient(Ekk)un espace vectoriel normé,Kun compact non vide deEet
f:K→Ktelle que

∀(x y)∈K2 x6=y⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk

1

a) Montrer qu’il existe un unique point fixecdefsurK.
b) Soit(xn)telle quexn+1=f(xn)etx0∈K. Montrer que(xn)converge versc.

Exercice 8X MP[ 02955 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie,udansL(E)etCun compact
convexe non vide deEstable paru.
Sin∈N?, soit
−
u1nX1ui
n=
n
i=0
a) Montrer que :
∀n∈N u(C)⊂C

n
b) Soitx∈un(C). Proposer un majorant deN(x−u(x))
c) Montrer que
\un(C)6=∅
n∈N?
d) Montrer queupossède un point fixe dansK.

Exercice 9[ 03410 ][correction]
Soientfune application deRdansRetIun segment inclus dans l’image def.
Montrer qu’il existe un segmentJtel que

f(J) =I

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Exercice 10[ 03471 ][correction]
SoitEun espace normé etfune application vérifiant

∀x y∈Ekf(x)−f(y)k=kx−yk

SoitKune partie compacte deEtelle quef(K)⊂K.
a) Pourx∈Kon considère la suite récurrente(xn)donnée par

x0=xet∀n∈N xn+1=f(xn)

Montrer quexest valeur d’adhérence de la suite(xn).
b) En déduire quef(K) =K.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
kuk= supku(x)k, or{x∈Ekxk= 1}est un compact non vide (car fermé,
kxk=1
image réciproque du fermé{1}par l’application norme et clairement borné en
dimension finie) donc l’applicationx7→ ku(x)kétant à valeurs réelles et continue
admet un maximum sur ce compact en un élémentx0qui résout le problème posé.

Exercice 2 :[énoncé]
a)Lest l’image d’un compact par une application continue doncLest compact.
b) Supposonsf−1non continue :∃y∈L∃ε >0∀α >0∃y0∈Ltel que
−1(y
|Pyo0s−onys|x6=αfet−1(fy−)1e(ty0e)n−pfrenant)α>=ε.1définissonsyn∈Lpuisxn=f−1(yn)tels
que|yn−y|61ne−x|> ε.(xnléments du compactK
t|xn n)est une suite d’é
donc elle possède une sous-suite convergente :(xϕ(n)). Posonsa= limxϕ(n).
Commefest continue,yϕ(n)=f(xϕ(n))→f(a)oryn→ydonc par unicité de la
limitey=f(a)puisa=f−1(y) =x. Ceci est absurde puisquexϕ(n)−x> ε.

Exercice 3 :[énoncé]
L’applicationx7→d(x L) =yin∈fLky−xkest une fonction réelle continue sur le
compactKdonc admet un minimum en un certaina∈K. Ory7→ ky−akest
une fonction réelle continue sur le compactLdonc admet un minimum en un
certainb∈L. Ainsi

d(K L) =xi∈nfK yi∈nfLky−xk=yi∈nfLky−ak=kb−ak>0

cara6=bpuisqueK∩L=∅.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soientx x0∈E.
∀y∈A,kx−yk6kx−x0k+kx0−ykdoncd(x A)6kx−x0k+kx0−ykpuis
d(x A)− kx−x0k6kx0−yketd(x A)− kx−x0k6d(x0 A). Ainsi
d(x A)−d(x0 A)6kx−x0ket par symétrie|d(x A)−d(x0 A)|6kx−x0k.
Finalementx7→d(x A)est 1 lipschitzienne donc continue.
b) Considérons l’applicationx7→d(xCEU)définie sur le compactK.
Cette application est bornée et atteint ses bornes. Posonsα= miKnd(xCEU)
x∈
atteint enx0∈K.
Siα= 0alorsx0∈ CEUorCEUest fermé et doncx0∈ Uorx0∈K.
Nécessairementα >0et alors∀x∈K B(x α)⊂U.

3

Exercice 5 :[énoncé]
Unicité : Six6=ysont deux points fixes distincts on ad(x y)< d(x y), c’est
exclu, d’où l’unicité.
Existence : Considéronsg:x7→d(x f(x))définie surK. Par compositiongest
continue et puisqueKest compacte,gatteint son minimum en un certainx0∈K.
Sif(x0)6=x0on a alorsg(f(x0)) =d(f(f(x0)) f(x0))< d(f(x0) x0) =g(x0)ce
qui contredit la définition dex0. Nécessairementf(x0) =x0ce qui résout le
problème.

Exercice 6 :[énoncé]
Par l’absurde, supposons qu’il existea∈Atel quefn’est pas continue ena.

∃ε >0∀α >0∃x∈Akx−ak6αetkf(x)−f(a)k> ε

Cela permet de construire(xn)∈ANtelle quexn→aetkf(xn)−f(a)k> ε.
La suite(f(xn))est bornée dans l’espace vectoriel norméFde dimension finie, on
peut donc en extraire une suite convergentef(xϕ(n)). Notonsbsa limite. Comme

∀n∈Nf(xϕ(n))−f(a)> ε

à la limitekb−f(a)k>εet doncf(a)6=b. Or(xϕ(n) f(xϕ(n)))→(a b),
(xϕ(n) f(xϕ(n)))∈Γfet(a b)∈ΓfdoncΓfn’est pas fermée. Absurde.

Exercice 7 :[énoncé]
a) L’unicité est évidente. Pour l’existence, on introduitδ:x7→ kf(x)−xk. La
fonctionδest continue sur le compactKelle admet donc un minimum en un
c∈K. Sif(c)6=calorsδ(f(c)) =kf(f(c))−f(c)k<kf(c)−ck=δ(c)ce qui
contredit la minimalité dec. Il restef(c) =c.
b) Introduisonsdn=kxn−ck. La suite(dn)est décroissante et minorée donc elle
converge ; posonsdsa limite. La suite(xn)évolue dans un compact, il existe donc
une extractriceϕtelle que(xϕ(n))converge vers un élémentadeK. On a alors
dϕ(n)→det doncd=ka−ck. La suite(xϕ(n)+1)converge versf(a). On a aussi
dϕ(n)+1→det doncd=kf(a)−ck=kf(a)−f(c)k. L’hypothèsea6=c
contredirait l’hypothèse faite surf. Nécessairementxϕ(n)→c. En substance la
suite(xn)du compactKn’admet qu’une valeur d’adhérence donc elle converge
vers celle-ci.

Exercice 8 :[énoncé]
a)Cest stable par tous lesuiet puisqueCest convexe et queun(x)est une

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Corrections

combinaison convexe dex u(x)     un−1(x), on peut assurer queCest stable par
un.
b) Il existea∈Ctel que

En simplifiant

x=un(a) =n1a+u(a) +∙ ∙ ∙+un−1(a)

x−u(x) = 1n(a−un(a))

donc
N(x−u(x))62Mn
avecM= supN(a).
a