Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Valeurs d'ahérences d'une suite

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Valeurs d’ahérences d’une suite Exercice 7 X MP [ 02947 ] [correction] u2nDéterminer les suites réelles bornées telle que u + converge.n 2 n>0 Exercice 1 [ 01170 ] [correction] Soit u une suite d’éléments de E. Etablir que Exercice 8 [ 03466 ] [correction]\ Adh(u) = {u /p>n}p On munit E =R[X] des normes données par les relations p∈N Z 1 kPk = sup |P(t)| et kPk = |P(t)| dtet en déduire que Adh(u) est une partie fermée. ∞ 1 t∈[0,1] 0 net l’on considère la suite (X ) d’éléments de E.n∈N Exercice 2 [ 03216 ] [correction] na) Vérifier que la suite (X ) est bornée pourk.k et converge vers 0 pour lan∈N ∞Soit (u ) une suite réelle vérifiantn normek.k .1 b) Comparerk.k etk.k .1 ∞u −u → 0n+1 n nc) En déduire que, bien que bornée, la suite (X ) ne possède pas de valeurn∈N d’adhérence pourk.k .Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de u est un intervalle. ∞ Exercice 3 X MP [ 02946 ] [correction] Soit a une suite de réels telle que a −a tend vers 0. Montrer que l’ensemblen+1 n des valeurs d’adhérence de a est un intervalle. Exercice 4 [ 01162 ] [correction] Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E. Montrer que si une suite (u ) d’éléments de K n’a qu’une seule valeurn d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Valeurs d’ahérences d’une suite

Exercice 1[ 01170 ][correction]
Soituune suite d’éléments deE. Etablir que
Adh(u) =\{upp>n}
p∈N

et en déduire que Adh(u)est une partie fermée.

Exercice 2[ 03216 ][correction]
Soit(un)une suite réelle vérifiant

un+1−un→0

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence deuest un intervalle.

Enoncés

Exercice 3X MP[ 02946 ][correction]
Soitaune suite de réels telle quean+1−antend vers 0. Montrer que l’ensemble
des valeurs d’adhérence deaest un intervalle.

Exercice 4[ 01162 ][correction]
SoitKune partie compacte d’un espace vectoriel norméE.
Montrer que si une suite(un)d’éléments deKn’a qu’une seule valeur
d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

Exercice 5[ 03263 ][correction]
Soientf:R→Rcontinue etu= (un)∈RNvérifiant

∀n∈N un+1=f(un)

On suppose que la suiteupossède une unique valeur d’adhérence, montrer que
celle-ci converge.

Exercice 6[ 01163 ][correction]
Soit(un)une suite réelle bornée telle queun+21u2n→0.
Montrer que siaest une valeur d’adhérence de(un)alors−2al’est aussi.
En déduire que(un)converge.

Exercice 7X MP[ 02947 ][correction]
Déterminer les suites réelles bornées telle queun+u22nn>0converge.

Exercice 8[ 03466 ][correction]
On munitE=R[X]des normes données par les relations
t∈[01]Z10|P(t)|dt
kPk∞= sup|P(t)|etkPk1=

1

et l’on considère la suite(Xn)n∈Nd’éléments deE.
a) Vérifier que la suite(Xn)n∈Nest bornée pourkk∞et converge vers 0 pour la
normekk1.
b) Comparerkk1etkk∞.
c) En déduire que, bien que bornée, la suite(Xn)n∈Nne possède pas de valeur
d’adhérence pourkk∞.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Une valeur d’adhérence appartient à chaque{upp>n}donc
Adh(u)⊂\{upp>n}
p∈N
Inversement, pour tout`∈T{upp>n}, on peut construire une suite extraire
p∈N
deude limite`: on commence par choisirn0tel queN(un0−`)61ce qui est
possible car`∈ {upp>0}puis une foisnkchoisit, on choisitnk+1> nkde sorte
queN(unk+1−`)61(k+ 1)ce qui est possible puisque`∈ {upp > nk}. La
suite(unk)est alors une suite extraite de la suiteude limite`.

Exercice 2 :[énoncé]
Soienta < bdeux valeurs d’adhérence de la suiteuetc∈]a b[. Montrons

∀ε >0∀N∈N∃n>N|u−c|6ε
n

ce qui établira quecest valeur d’adhérence de la suiteu.
Par l’absurde, supposons qu’il existeε >0etN∈Ntel que

∀n>N un∈[c−ε c+ε]

Puisqueaetbsont valeurs d’adhérence deuaveca < c < b, on a nécessairement

a < c−εetb > c+ε

Puisqueun+1−un→0, il existe un rangN0au-delà duquel|un+1−un|6ε.
Considérons alors le rangn0= max(N N0).
Siun06c−εalors pour toutn>n0, on aun6c−εcar le saut d’un terme au
terme suivant est inférieur àεet que le segment[c−ε c+ε]de longueur2εest
une zone « interdite ». Le réelbne peut alors tre valeur d’adhérence deu.
Siun0>c+εalors, par le mme argument, on aun>c+εpour toutn>n0et
le réelane peut tre valeur d’adhérence deu.
Absurde.

Exercice 3 :[énoncé]
SoitAl’ensemble des valeurs d’adhérence de la suitea.

Nous allons établir queAest un intervalle en observant que

∀α < β∈A[α β]⊂A

(caractérisation usuelle des intervalles)
Soitα < β∈Aetγ∈[α β]. Siγ=αouγ=βalors évidemmentγ∈A.
Supposons maintenantγ∈]α β[.
SoientN∈Netε >0. Puisquean+1−an→0, il existe un rangN0tel que

∀n>N0|an+1−an|6ε

Commeαest valeur d’adhérence deaet queα < γil existep>max(N N0)tel
queap< γ. Aussi, il existeq>max(N N0)tel queaq> γ.
Sip < q, on introduit
E={n∈[p q] an< γ}
Cet ensembleEest une partie deN, non vide (carp∈E) et majoré (parq). Cet
ensemble admet donc un plus grand élémentr. Nécessairementr < qcaraq>γ.
Puisquer∈Eetr+ 1∈ E,ar< γ6ar+1et donc|γ−ar|6|ar+1−ar|6ε.
Sip > q, un raisonnement semblable conduit à la mme conclusion.
Finalement
∀N∈N∀ε >0∃r>N|γ−ar|6ε
On peut donc affirmer queγest valeur d’adhérence deaet conclure.

Exercice 4 :[énoncé]
Soit(un)une suite d’éléments deKqui n’ait qu’une seule valeur d’adhérence`.
Par l’absurde supposons que(un)ne converge par vers`. On peut écrire

∃ε >0∀N∈N∃n>N|un−`|> ε

2

Par conséquent il existe une infinité de termes de cette suite tels que|un−`|> ε.
A partir de ces termes on peut construire une suite extraite de(un)qui étant une
suite d’éléments du compactKpossèdera une valeur d’adhérence qui ne peut tre
que`compte tenu de l’hypothèse.
C’est absurde, car tous ces termes vérifient|un−`|> ε.

Exercice 5 :[énoncé]
Notonsala valeur d’adhérence deu. Il existe une extractriceϕ:N→Nvérifiant

uϕ(n)→a

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et par continuité def, on a alors

uϕ(n)+1=f(uϕ(n))→f(a)

Corrections

Puisqu’il n’y a qu’une valeur d’adhérence à la suiteu, on peut affirmerf(a) =a.
Supposons par l’absurde que la suiteune converge pas versa.
Soitε >0. Puisqueuϕ(n)→a, il existe un rangN∈Ntel que

∀n>Nuϕ(n)−a< ε

Puisque l’on suppose que la suiteune tend pas versa, il existe, pour chaque
n>N, un entierm > ϕ(n)tel que|um−a|> ε. Considérons le plus petit de ces
entiersmque nous noteronsmn. On a par construction

mn> ϕ(n),|umn−1−a|6εet|umn−a|> ε

Ce qui précède permet alors de construire une suite extraite de la suiteudont les
termes appartiennent à

f([a−ε a+ε])]a−ε a+ε[

Puisque, l’applicationfest continue, la partief([a−ε a+ε])est compacte et
doncf([a−ε a+ε])]a−ε a+ε[l’es aussi par intersection d’une partie
compacte et d’une partie fermée. La suite extraite précédente admet alors une
valeur d’adhérence dans cette partie ce qui contredit l’hypothèse de travail.

Exercice 6 :[énoncé]
Siuϕ(n)→aalorsu2ϕ(n)= 2εϕ(n)−2uϕ(n)→ −2a(en notant
εn=un+12u2n→0).
Si(un)possède une valeur d’adhérenceaautre que 0 alors∀k∈N(−2)kaest
aussi valeur d’adhérence. Or ceci est impossible car(un)est bornée.
Puisque(un)est bornée et que 0 est sa seule valeur d’adhérence possible,un→0.
Exercice 7 :[énoncé]
Posons`=nl→im+∞un+u22netvn=un−32`de sorte queεn=vn+v22n→0.
Soitaune valeur d’adhérence de la suite(vn).
Il existeϕ:N→Nstrictement croissante telle quevϕ(n)→a.
v2ϕ(n)= 2εϕ(n)−2vn→ −2adonc−2aest aussi valeur d’adhérence de(vn).
En reprenant ce processus, pour toutp∈N,(−2)paest valeur d’adhérence de(vn).
Or la suite(un)est bornée, la suite(vn)l’est donc aussi et ses valeurs d’adhérence
le sont encore. On peut donc affirmera= 0.

3

La suite(vn)est bornée et 0 est sa seule valeur d’