Sujet : Analyse, Deux équations fonctionnelles

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Continuité.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 21
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.

2.a

2.b

Soit:ℝ→ℝune app

Deux équations fonctionnelles

lication continue telle que :
∀,∈ℝ,(+)=()+()

Calculer(0) et établir queest une fonction impaire.

Soit∈ℝ. Montrer que pour tout∈ℕ,()=() . Etendre cette relation à∈ℤ.

On pose=(1) . Montrer que pour tout∈ℚ,()=.

En exploitant la continuité de, établir enfin que pour tout∈ℝ,().
=

Soit:ℝ→ − application continue telle que :1,1 une

∀,∈ℝ,(+)=1()(+)((.) )
+   


−
=
Soitϕ:ℝ→ℝdéfinie parϕ(. )11
+
Montrer queϕest réalise une bijection deℝvers− que pour tout1,1 et,∈ℝ,


ϕ(+)=1ϕ+()(+)ϕ(( ).)
ϕϕ

On pose=ϕ−1. Exprimer(+ fonction de) en() et() pour tout,∈ℝ.

2.c En déduire la forme de l’expression de() en fonction de.