Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Calcul d'intégrales

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul d’intégrales

Exercice 1
Calculer

[ 00283 ][correction]

Z1ln(1 +t2)dt
0

Exercice 2[ 00282 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable ad hoc :
a)Z0π3+cosints2tdtb)Z12√t+dt2tc)Z21ln(1 +tt2)−lntdt

Exercice 3
Calculer

[ 00285 ][correction]
I=Z0π4ln(1 + tanx)dx

Exercice 4Centrale MP
Calculer

[ 02436 ][correction]
Z0√3arcsin21+t

Exercice 5[ 00288 ][correction]
Pourp q∈N, calculer

Exercice 6[ 00289
Pourn∈N, posons

t2

dt

Ipq=Z10tp(1−t)qdt

][correction]

Zπ2n

In= (sint)dt
0
a) Pourn>2, former une relation de récurrence liantInetIn−2.
b) En déduire l’expression deInselon la parité du natureln.

Enoncés

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
R01ln(1 +t2)dt=tln(1 +t2)10−R021+1t2t2dt= ln 2 +2π−2.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Viax= cost
Z0πisnco3+ts2tdt=Z−113 +dxx2=√31√x33=π√3
arctan
b) Viax=√t
Z12√td+t2t=Z1√212+dx2x= [ln(1 + 2x)]1√2= ln(1 + 2√2)−ln 3

Corrections

c) Viax= 1t
Z12ln(1 +tt2)−lntdt=−Z112ln(x+ 1)dx=Z322dxn22l=7−3n3l2−12
lnx

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionx7→ln(1 + tanx)est définie et continue sur[0 π4]doncIexiste.
ln(1 + tanx) = ln(cosx+ sinx)−ln(cosx)etcosx+ sinx=√2 cosπ4−x.
Ainsi
π
I= ln 24dx
8 +Z0πln cos4π−xdx−Z0π4ln(cosx)
or
π 4
Z04ln cosx−π4dxt=π4=−xZπln cos(t)dt
0
donc

I=πln 2
8

Exercice 4 :[énoncé]
On réalise le changement de variablet= tanx2pour lequel+12tt2= sinx.
On obtient
Z0√3arcsin+12tt2dt=Z02π312csars(ninix)1 + tan22xdx

On simplifiearcsin(sinx) =xpourx∈[0 π2]etarcsin(sinx) =π−xpour
x∈[π22π3].

Enfin on calcule
Z0π2x1 + tan22xdx
par intégration par parties.
Au final, on obtient
Z0√3arcsin1+2tt2dt=√π3

Exercice 5 :[énoncé]
Par intégration par parties, on obtient pourq6= 0

Ipq=qp+ 1Ip+1q−1

PuisqueIn0=n+11, on obtient

Ipq=(p+qq!p1+!)!

Exercice 6 :[énoncé]
a) Pourn>2, par intégration par parties (avecu0= sintetv= sinn−1t)

donc

b)I0=π2etI1= 1puis

I2p

In= (n−1)In−2−(n−1)In

In=n−1In−2
n

(2p)!π
=etI2p+12(2=2pp(+p!)12)!
22p(p!)22

2

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