Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Suites numériques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Suites numériques
Exercice 1[ 00298 ][correction]
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
a)un=n√nb)un=1 +xnn
)un=n−11n+2)un=n2cos 1n−colsn1+1
c d
n+
e)un=tanπ4 +αnnf)un=n(lln+nn1)nnn2
g)un=n√2 +n√+33n√4nh)un=acratarctan(nnn+ 1)n
Exercice 2[ 00302 ][correction]
Nature de la suite de terme général
un= cos(πn2ln(1−1n))
Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02781 ][correction]
Etudier la convergence de la suitebanc1n, oùa >0.
Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02782 ][correction]
Soient des réels positifsaetb. Trouver la limite de
a1n2+b1nn
Exercice 5[ 00304 ][correction]
Soit(un)naturels deux à deux distincts. Montrer queune suite d’entiers
un→+∞.
Exercice 6[ 00300 ][correction]
Soienta >0et
un= (1 +a)(1 +a2) (1 +an)
a) Montrer que sia>1alorsun→+∞.
b) On suppose0< a <1. Montrer que la suite(un)est convergente. On pourra
exploiter la majoration1 +x6exvalable pour toutx∈R.
Enoncés
Exercice 7[ 00322 ][correction]
Soit
n
In=Z1xdx
0x+ 1
a) Montrer queIn→0en décroissant.
b) SimplifierIn+In+1et en déduire une expression deIn
sommatoire.
c) Déterminer
N−1
limX(−1n)n
N→+∞1
n=
d) Exploiter
pour déterminer
1
JnZ0x2xn d+ 1x
=
Nl→im+NX(2n−+)1n1
∞
n=0
à l’aide d’un symbole
1
Exercice 8[ 00324 ][correction]
[Irrationalité dee]
On pose pourn>1,
n1 1
un=Xk!etvn=un+nn!
k=0
a) Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes.
b) En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonctionx7→ex,
montrer queun→e.
c) On suppose quee =pqavecp q∈N?. En considérantqq!uqetqq!vqobtenir
une absurdité.
Exercice 9[ 00320 ][correction]
Soientα >0et
n
un=Xn1
k=1α+kα
a) Montrer que siα >1alorsun→0tandis que siα <1,un→+∞.
b) Montrer que siα= 1, la suite est monotone et convergente.
c) En exploitant l’encadrementln(1 +x)6x6−ln(1−x)valable pour tout
x∈[01[, établirun→ln 2.
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Exercice 10[ 00321 ][correction]
a) Etablir que pour toutx>0on a
b) En déduire la limite de
1
x−x26ln(1 +x)6x
2
n
un=kY=11 +nk2
Exercice 11[ 03428 ][correction]
a) Déterminer
lim2n1
→+∞p=nX+1p
n
b) Pourα >1, déterminer
c) En déduire
nl→im+∞2Xn1
p=n+1pα
nl→i+m∞p=2nXn+1sin1p
Enoncés
Exercice 12Centrale MP[ 00319 ][correction]
a) Soit
np
un=Xn1
k=1+k
oùp∈N?est fixé. Montrer que la suite(un)converge. Sa limite sera notée`(on
ne demande pas ici de la calculer)
b) Soitf:R+→Cde classeC1et telle quef(0) = 0. Soit
vn=kn=Xp1fn+1k
Montrer que(vn)Exprimer sa limite en fonction deconverge. `.
c) Calculer`en utilisantf(x) = ln(1 +x).
d) SifdeR+dansCest continue et vérifief(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir
divergence de la suite(vn).
Exercice 13Centrale MP[ 00323 ][correction]
Développement asymptotique à trois termes de :
nk
un=Xsinn2
k=1
2
Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02788 ][correction]
Donner un développement asymptotique den!1k=Pn0k!n∈Nà la précisiono(n−3).
Exercice 15Centrale MP[ 02471 ][correction]
Soitf(x) = ( )1xet(C)le graphe def.
cosx
a) Montrer l’existence d’une suite(xn)vérifiant :
i)(xn)est croissante positive.
ii) la tangente à(C)en(xn f(xn))passe parO.
b) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de(xn).
Exercice 16Centrale PC[ 03184 ][correction]
SoientKun réel strictement supérieur à 1 et(εn)une suite de réels positifs
convergeant vers 0. Soit(un)une suite de réels de[01]vérifiant
∀n∈N06un+16unK+εn
La suite(un)converge-t-elle vers 0 ?
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a)un= exp (lnnn)→1.
b)un= expnln1 +xn (= expx+o(1))→ex.
c)un= exp(n+ 2) ln1−n2+1= exp(−2 +o(1))→e−2.
d)un=−2n2sin1n+n+11sinn1−n1−1=On1→0.
e)tanπ4+αn= 1 +2nα+o1ndonc
un= expnln1 +2nα+o1n= exp(2α+o(1))→e2.
α
lnn
f)un=1 +nnl1n+onln1nn→e.
g)n√2 = expn1ln 2= 1 +n1ln 2 +o(1),un=1 +3nln24+on1n→
h) Par le théorème des accroissements finis
ln(arctan(n+ 1))−ln(arctann=)+11c2ctanra1c
avecn6c6n+ 1donc
1
un= expn21+1c2arctanc→e2π
Exercice 2 :[énoncé]
En développantln(1−1n)
un= cosπn+2π+o(1)= (−1)n+1sin(o(1))→0
3√24.
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
Sia∈]01[, la suite est constante égale à 0.
Sia= 1, la suite est constante égale à 1.
n
Sia >1alorsan−1<banc6andonne(an−1)1n<banc16aet donc, par
encadrement, la suite converge versa.
Exercice 4 :[énoncé]
Sia= 0oub= 0alors la suite converge évidemment vers 0. On suppose
désormaisa b >0.
Puisque
a1n= e1nlnaavec1lna→0
n
on peut écrire
a1n 1= 1 +nlna+o1n
On procède de mme pourb1net alors
12a1n+b1n+1=12nln(ab) +o
puis
donne
Finalement
1n
b1n
a1n2+n= expnln+121nln(ab) +o1n
a1n2+b1nn= expln(12ab) +o(1)
a1n2+b1nn→√ab
Exercice 5 :[énoncé]
∀A∈R+, l’ensembleE={n∈Nun< A}est fini car il contient au plus
E(A) + 1éléments.
Par suite il possède un plus grand élémentNet alors∀n>N+ 1 un∈Edonc
un>A. Ainsiun→+∞.
Exercice 6 :[énoncé]
a) Sia>1alorsun>2n→+∞doncun→+∞.
b)un>0etuunn+1>1donc(un)est croissante. De plus
un6eaea2 ean= expa11−−aan6exp1a−a
donc(un)est majorée et par suite convergente.
Exercice 7 :[énoncé]
a)
doncIn→0.
06In6Z10xndx=n1+1→0
3
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De plus, pour toutx∈[01],
doncIn6In+1.
b)
donc
c)I0= ln 2et(−1)nIn
xnxn+1
x+ 16x+ 1
In+In+1=n1+1
n−k
In=Xn(−1)
k+ (−1)nI0
k=1
→0donc
nX(−1)−k0
k+ ln 2→
k=1
puis la conclusion.
d) Comme ci-dessus,Jn→0. De plus
donc
puis
d’où
Jn+Jn+2=n+11
J2n=n−X1(−12k)n−11−k+ (−1)nJ0
k=0+
n−X1(2−k1)+k+11+π4→0
k=0
nX(−1)kπ
k02k+ 1→4
=
Exercice 8 :[énoncé]
a) Aisément(un)est croissante(vn)décroissante etvn−un→0.
b) Par l’inégalité de Taylor-Lagrange, pour toutx∈[01],
n
exXkx!k6M(nn+1+x1n)+!1
−
k=0
Corrections
avecMn+1=xs∈[u0p](ex)(n+1)= e. Pourx= 1, on obtient
1
|e−un|6(n+1)!e→0
4
doncun→e.
c) Par la stricte monotonie des suites(un)et(vn)on aun<e< vnpour tout
n∈N?
.
qq
