Sujet : Analyse, Fonction de Lambert et étude d'une famille de fonctions

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Etude de fonctions. Dérivation.

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Fonction de Lambert et étude d’une famille de fonctions

Partie I

On considère:ℝ→ℝl’application déterminée par()=eet on notesa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité égale à 2 cm. 1.a Dresser le tableau des variations de. 1.b Etudier les branches infinies de.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

4.c

4.d

Etudier la concavité de. En quel point la courbeadmet-elle une d’inflexion ? En quel point la tangente au point d’inflexion coupe-t-elle l’axe des abscisses.

Représenteraccompagnée de la tangente précisée ci-dessus. Montrer que la restriction deau départ de−1,+∞réalise une bijection vers un intervalle que l’on précisera. Dresser le tableau de variation complet de son application réciproque notée.

Sur quel intervalle la fonctionest-elle dérivable ? Exprimer′() en fonction de, de( sans exponentielles.) mais Etudier l’existence d’une tangente àen−1 e .

  Dans cette question on se propose d’obtenir une valeur numérique approchée deα=12.

Justifier queα∈0,1 2 .

− = On introduit la fonction dérivableϕ:ℝ→ℝdéfinie parϕ(12e). 1

Montrer queϕ(α)=αet∀≥0 ,ϕ′()≤ .2

On définit une suite récurrente réelle () par0=0 et∀∈ℕ,+1=ϕ() . Etablir que la suite () converge versα. Donner une valeur décimale approchée deαà la précision 10−2en précisant la démarche suivie.

Partie II

Soitλun paramètre strictement positif. On étudie ici la famille des fonctionsλ:ℝ→ℝdéfinies parλ()=e−+λ2. On noteλla courbe représentative deλdans un repère orthonormé. 1.a Dresser le tableau des variations deλ. On noteraλle point oùadmet un minimum et on exprimeraλen fonction deet deλ. Etablir queλ(λ)=λλ(λ+2) . 1.b Etudier les branches infinies deλet la convexité de cette fonction.

1.c

2.a

2.b

Donner l’allure deλ. * Dans cette question on étudie la fonction:λ֏λdéfinie surℝ+.

Etudier la monotonie de:λ֏λainsi que ses limites quandλ→ +∞et quandλ→0+. En observant la relation 2λλ=e−λ, déterminer un équivalent simple deλquandλ→ +∞.

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