Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Fonction Gamma

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonction Gamma b) Etablir que Z Zn−1n +∞t −tExercice 1 [ 00557 ] [correction] lim ln(t) 1− dt = ln(t)e dt n→+∞ n0 0On rappelle que la valeur de Γ(1/2) est connue. 1En déduire les valeurs de Γ n + pour n∈N. 2 c) Observer que Z Zn−1n 1 nt (1−u) − 1 ln(t) 1− dt = lnn + du Exercice 2 [ 00558 ] [correction] n u0 0 0 0Sachant Γ (1) =−γ, calculer Γ (2). 0d) Conclure que Γ (1) =−γ où γ désigne la constante d’Euler. Exercice 3 [ 00559 ] [correction] Exercice 7 [ 02635 ] [correction] √00 R 2Sans calculer Γ , établir que la fonction Γ est convexe. +∞ π−tOn rappelle e dt = . 0 2 Pour x> 0, on pose Z +∞ −t x−1Γ(x) = e t dtExercice 4 [ 00560 ] [correction] 0∞Démontrer que la fonction Γ est de classeC sur ]0, +∞[. a) Montrer que cette fonction est définie et indéfiniment dérivable sur ]0, +∞[. On étudiera la régularité en se restreignant à x∈ [a,b]⊂ ]0, +∞[. b) Calculer Γ(n + 1) pour n∈N. √Exercice 5 [ 00561 ] [correction] c) En réalisant le changement de variable t =n +y n, transformer l’intégrale a) Démontrer que la fonction Γ donnée par Γ(n + 1) en Zn +∞Z √n+∞ n f (y)dyx−1 −t nnΓ(x) = t e dt e −∞ 0 √√ 2−y /2où f (y) = 0 pour y6− x, 06f (y)6 e pour− t 0 et t> 1.n2b) Démontrer que la fonction Γ est de classeC sur ]0, +∞[. d) En appliquant le théorème de convergence dominée établir la formule de c) En exploitant l’inégalité de Cauchy Schwarz, établir que la fonction x7→ ln Γ(x) Stirling : nest convexe. √ n n!