Sujet : Analyse, Séries de Engel
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Séries deEngel
On notel’ensemble formé des suites de nombres entiers=()∈ℕvérifiant :
0> pour tout1 et≥0 ,≤+1.
1. Etant donnée une suite=()∈ℕde (, on forme une suite réelle) en posant pour tout∈ℕ:
1 11 1
=∑= + +⋯+
=001…00101…
1.a
1.b
Calculer (quand la suite) est constante égale à∈ℕ\{0,1}.
Quelle est alors la limite de la suite () ?
On revient au cas général.
Montrer que la suite ( vers un réel) converge∈0,1 .
On pose alors()=ce qui définit une application:→0,1
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
4.
Soit=()∈ℕet=()∈ℕdeux suites de.
On suppose0>0. Etablir que()<() .
Montrer queest injective.
Soitun réel de l’intervalle On définit une suite ( 0,1 . suit :) comme
0=∈ pour tout0,1 puis≥0
+1=−1 avecla partie entière de 1+−1.
Justifier que la suite () est bien définie et que c’est une suite décroissante d’éléments de 0,1 .
Exprimeren fonction0,1,…,et de.
Conclure que la fonctionest surjective.
Soit 0,1 etun réel de l’intervalle=( suite de) l’uniquetelle que()=.
Montrer que :
∈ℚ⇔ ∃∈ℕ,∀
≥,
=
