Sujet : Analyse, Séries entières, Développement en séries entières

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Développement en séries entières Exercice 6 [ 00991 ] [correction] Pour α∈ ]0,π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction Exercice 1 [ 00986 ] [correction] 1+x α Former le développement en série entière en 0 de la fonction f :x7→ arctan tan 1−x 2 2x7→ ln(x −5x+6) Exercice 7 Centrale MP [ 00995 ] [correction] R+∞ dtRéaliser le développement en série entière en 0 de x7→ et reconnaîtreExercice 2 [ 00987 ] [correction] 2 2t +x1 cette fonction.Former le développement en série entière en 0 de la fonction 2x7→ ln(x +x+1) Exercice 8 [ 00937 ] [correction] Former le développement en série entière en 0 de Exercice 3 [ 00988 ] [correction] Z +∞Soient a,b> 0 avec a =b. 2−tx7→ e sin(tx)dtCalculer c , le n-ièmeème coefficient du développement en série entière en 0 den 0 1 a) en procédant à une intégration terme à terme.x7→ (1−ax)(1−bx) b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Développement en séries entières

Exercice 1[ 00986 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction

x7→ln(x2−5x+ 6)

Exercice 2[ 00987 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction

x7→ln(x2+x+ 1)

Exercice 3[ 00988 ][correction]
Soient >a b0aveca6=b.
Calculercn, len-ièmeème coefficient du développement en série entière en 0 de

Exprimer

1
x7→(1−ax)(1−bx)

+∞
Xc2nxn
n=0

Exercice 4[ 00989 ][correction]
Pourt∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction

1−x2
x7→2
1−2xcost+x

Exercice 5[ 00990 ][correction]
Former le développement en série entière de

pour|z|<1ett∈]0 π[.

1−zcost
1−2zcost+z2

Enoncés

Exercice 6[ 00991 ][correction]
Pourα∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction
f:x7→arctan11−+xxt2naα

Exercice 7Centrale MP[ 00995 ][correction]
Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→R+1∞t2d+tx2
cette fonction.

Exercice 8[ 00937 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de
x7→Z+∞e−t2sin(tx) dt
0

et reconnaître

a) en procédant à une intégration terme à terme.
b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02848 ][correction]
Pourx∈]−11[etα∈R, établir

n=+X∞1nxnsin(nα) = arctanxsinαα
1−xcos

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02857 ][correction]
Développer en série entière

x7→Z−x∞1 +tdt+t2

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02858 ][correction]
Développer en série entièref:x7→px+√1 +x2au voisinage de 0.

1

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Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02859 ][correction]
a) Montrer, sit∈R:
n(it)k6(|tn|+n+11)!
eit−Xk!
k=0
b) Soitf∈ C0(RR)telle queR−+∞∞|tn| |f(t)|dtn>0soit bornée.
Montrer queF:x7→R−+∞∞eitxf(t)est développable en série entière en 0.

Enoncés

Exercice 13X MP[ 02975 ][correction]
Etant donné une suite complexe(an)n∈N?de carré sommable, on pose
∞
f(t) =Xna−nt
n=1
où la variabletest réelle.
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest développable en série entière autour de 0.
c) Montrer que sifest identiquement nulle sur[−1212], la suite(an)n∈N?est
identiquement nulle.

Exercice 14[ 03346 ][correction]
[Développement en série entière de la fonction tangente]
Soit(an)n∈Nla suite réelle déterminée par les conditions
n
a0= 1et∀n>1 an+Xank!−k= 0
k=0
a) Calculera1 a2 a3.
b) Montrer que le rayon de convergenceRde la série entièrePanznest au moins
égal à 1.
c) Etablir que pour tout|z|< R,

+X∞anzn= 2
=0ez+ 1
n
d) En déduire que pour toutx∈]−R2 R2[,

e) Etablir

+∞
tanx=X(−1)p+1a2p+122p+1x2p+1
p=0

R=π

Exercice 15[ 03485 ][correction]
Former le développement en série entière de
f:x7→r11+−xx

Exercice 16CCP MP[ 03707 ][correction]
a) Pour quel réelx, l’intégrale suivante existe-t-elle
+∞
Z0x+dtet?

b) Donner alors sa valeur.
c) Montrer que
f(x) =Z+∞dt
0x+ et
est développable en série entière et exprimer ce développement.
Exercice 17CCP MP[ 00078 ][correction]
Soientx∈Retθ∈]0 π2[.
a) Calculer la partie imaginaire du complexe

sinθeiθ
1−xsinθeiθ

b) En déduire le développement en série entière de
f(x) = arctanx−nta1θ

Exercice 18CCP MP[ 02512 ][correction]
a) Quel est le domaine de définition de

S(x) =+X∞an
n
n=0x+

poura∈]−11[?
b) Déterminer la limite et un équivalent deSen+∞.
c) Développer en série entière
S(x)−1x

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Exercice 19CCP MP
Montrer que

[ 02525 ][correction]

f(x) = arctan(1 +x)

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de
convergence. Calculer cette série entière.

Exercice 20CCP MP[ 02506 ][correction]
Soita∈]−11[. On pose
+∞
f(x) =Xsin(anx)
n=0
a) Montrer quefest définie surR.
b) Montrer quefest de classeC∞et que pour toutk∈Net toutx∈R,

f(k)(x) 1|
61− |a

c) Montrer quefest développable en série entière.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En dérivant et en décomposant en éléments simples
(ln(x2−5x+ 6))0=(x−22x)(−x5−3) =x1−2 +x−=31−121−1x2−131−1x3

donc
−5x+ 6) = ln 6−n+X=∞1n31nxn
ln(x2211n+
avec un rayon de convergenceR= 2.
On peut aussi trouver ce développement en série entière en factorisant

ln(x2−5x+ 6) = ln(2−x) + ln(3−x)

Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrire
ln(1−x3) = ln(1−x) + ln(1 +x+x2)

donc sur]−11[,

avec

+∞+∞
ln(1 +x+x2) =−+X∞1n x3n+Xn1xn=Xanxn
n=1n=1n=1

1
an= 1nsi[3]n+13n=−23n
n6= 0eta3n=−

Exercice 3 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

(1−1a(a−b)+b(1b−ab)+∞bn+1−an+1n
ax)(1−bx) = 1−ax−xXb−a x
=
n=0

avecR= min (1a1b).
On a alors

+∞+∞
n=X0c2nxn(=b−1a)2X=0(b2n+2−2an+1bn+1+a2n+2)xn
n

4

donc
2ab a2bx
n=+X∞0c2nxn=(b−1a)21−b2b2x−1−abx+1−a2x1(=−a2x11)+(−xaba)(1−b2x)

Exercice 4 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

donc

1−x21 1
1−2xcost+x2=− 11 +−xeit+1−xe−it

pour toutx∈]−11[.

1−x2 +∞
1−2xcost+x2= 1 + 2Xcos(nt)xn
n=1

Exercice 5 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
1−zcost
1−2zcost+z212=1−(e1itz+)1−1e(−itz)

donc

puis

1−12z−czoscot+szt21=2+X∞(eint+ e−int)zn
n=0

+∞
1−12z−czscoot+szt2=Xcos(nt)zn
n=0

Exercice 6 :[énoncé]
En dérivant
f0(x) = (1−x)2tan(1+2+2αx)2tan22α
Par les formules de trigonométrie relatives à la tangente de l’angle moitié

f0(x) = 1−2xsisocnαα+x2

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Par décomposition en éléments simple
f0(x21==)ix−e1iα−x−e1−iα

Pourx∈]−11[, on obtient
f0(x2)=1in+=X∞0ei(n+1)αxn−n+X=∞0e−i(n+1)αxn!=n+X=∞xnsin(n+ 1)α
0

Enfin, en intégrant ce développement en série entière sur]−11[,

f(x) =+∞sin(nα)xn
2α+Xn
n=1

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
+∞
R+1∞t2d+tx2u==1tR110d+(uux)2=R01n=P0(−1)nu2nx2ndu. Pour|x|<1, il y a
arctanx
+∞(2−n1)+1nx2n=x
convergence normale pouru∈[01]doncR1+∞t2d+tx2=n=P0
.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On a
sin(tx) =+X∞(−1)k)!t2k+1x2k+1
k=0(2k+ 1
A l’aide d’intégr