Sujet : Analyse, Séries numériques, Calculs de sommes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calculs de sommes Exercice 6 [ 01050 ] [correction] +∞P 1Sachant = e, calculern! n=0Exercice 1 [ 03633 ] [correction] Existence et calcul de +∞ +∞ 2 X X+∞ n+1 n −2X 1 et ln 1− n! n!2n n=0 n=0 n=2 Exercice 7 [ 01051 ] [correction] Exercice 2 [ 01046 ] [correction] Soit x∈ ]−1,1[. Calculer +∞Existence et calcul de X k+∞X kx1 k=0 n(n+1)(2n+1) n=1 Exercice 8 [ 01052 ] [correction] Soit α> 0. MontrerExercice 3 [ 01047 ] [correction] Z+∞ k 1 α−1X+∞ (−1) xP 21 π = dxOn donne = . Calculer2k 6 k+α 1+x0k=1 k=0 +∞X 1 2 2 Exercice 9 [ 01053 ] [correction]k (k+1) k=1 On pose Z 1 naprès en avoir justifier l’existence. u = x sin(πx)dxn 0 P Montrer que la série u converge et que sa somme vautn ZExercice 4 [ 01048 ] [correction] π sint dtNature puis somme de tX 01 n(n+1)(n+2) n>1 Exercice 10 [ 01054 ] [correction] On rappelle l’existence d’une constante γ telle qu’on ait nExercice 5 [ 01049 ] [correction] X 1 Après en avoir justifié l’existence, calculer = lnn+γ +o(1) k k=1 +∞ +∞ 2X X1 1 π n−1sachant = a) Calculer la somme de la série de terme général u = (−1) /n.n2 2(2n+1) n 6 n=0 n=1 b) Même question avec u = 1/n si n = 0 [3] et u =−2/n sinon.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.