Sujet : Analyse, Séries numériques, Comparaison séries intégrales

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Comparaison séries intégrales Exercice 7 [ 01065 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général √ √ √Exercice 1 [ 01059 ] [correction] 1+ 2+···+ n Soit α 1, on pose +∞P 1Donner un équivalent simple à R = pour α> 1 donné.N α N +∞n X X1 1n=N+1 S = et R =N Nα αn n n=1 n=N+1 PExercice 3 [ 01061 ] [correction] RnEtudier, selon α, la nature de la série . SnEn exploitant une comparaison avec des intégrales établir : n>1 n nX X√ √2 1 a) k∼ n n b) ln(n!)∼nlnn c) ∼ ln(lnn) 3 klnk Exercice 9 [ 01067 ] [correction]k=1 k=2 nP P Soit u une série divergente de réels strictement positifs. On note S = u .n n k n>0 k=0 Exercice 4 [ 01062 ] [correction] Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour tout α> 1, il y a Déterminer la nature de la série de terme général convergence de la série X un converge1 αSnu =n n>1αn(lnn) Exercice 10 [ 01068 ] [correction]Exercice 5 [ 01063 ] [correction] Pour α> 1 on poseDéterminer la nature de la série de terme général +∞X 1 +∞ ζ(α) =X α1 n n=1u =n 2k +k=n+1 Déterminer la limite de (α−1)ζ(α) quand α tend vers 1 Exercice 6 [ 01064 ] [correction] Exercice 11 [ 01069 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer 1 +∞u =n X2 2 a(ln2) +···+(lnn) lim 2 2a→+∞ n +a n=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 117
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Comparaison séries intégrales

Exercice 1[ 01059 ][correction]
Soitα <1. Déterminer un équivalent de

n1
Xkα
k=1

Exercice 2[ 01060 ][correction]
+∞
Donner un équivalent simple àRN=Pn1αpourα >1donné.
n=N+1

Exercice 3[ 01061 ][correction]
En exploitant une comparaison avec des intégrales établir :

a)nX√k∼32n√nb)ln(n!)∼nlnn(ln1n)
nc)Xklnk∼ln
k=1k=2

Exercice 4[ 01062 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général

1
un=n(lnn)α

Exercice 5[ 01063 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général

+∞1
un=X2
k
k=n+1

Exercice 6[ 01064 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
1
un= (ln 2)2+∙ ∙ ∙+ (lnn)2

Enoncés

Exercice 7[ 01065 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
√1 +√2n+α∙ ∙ ∙+√n(avecα∈R)
un=

Mme question avec la série de terme général(−1)nun.

Exercice 8[ 01066 ][correction]
Pourα >1, on pose

N1R+∞1
SN=XnαeN=Xnα
t
n=1n=N+1
Etudier, selon riePRn.
α, la nature de la sén>1Sn

1

Exercice 9[ 01067 ][correction]
n
SoitPunune série divergente de réels strictement positifs. On noteSn=Puk.
n>0k=0
Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour toutα >1, il y a
convergence de la série
XuSnαconverge
n>1n

Exercice 10[ 01068 ][correction]
Pourα >1on pose
+X∞1
ζ(α) =nα
n=1
Déterminer la limite de(α−1)ζ(α)quandαtend vers1+

Exercice 11[ 01069 ][correction]
En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

+∞
a
al→i+m∞n=X1n2+a2

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Exercice 12Centrale MP[ 02423 ][correction]
On pose
+∞1+∞
un=X
p=n(p+ 1)αetvn=pX=n(p(−+1)1p)α
a) Déterminer la nature de la série de terme généralunselonα.
b) Déterminer la nature de la série de terme généralvnselonα.

Exercice 13Centrale MP[ 02428 ][correction]
On pose
f(x) = lnxx
a) Nature des séries de termes générauxf(n)puis(−1)nf(n).
b) Montrer la convergence de la série de terme général
n
Zn−1f(
f(n)−t) dt

c) Calculer

+∞
X(−1)nf(n)
n=1

Indice : On pourra s’intéresser à la quantité

n2n
2Xf(2k)−Xf(k)
k=1k=1

Exercice 14Centrale MP[ 02431 ][correction]
?
Soita >0 > b0et pourn∈N,

n
An=n1X(a+bk),Bn=Yn(a+bk)1n
k=1k=1

Trouverlni∞mBAnen fonction dee.
n

Exercice 15Centrale MP[ 02434 ][correction]
Soit, pourx∈R,
osx13
f(x c) =x23

Enoncés

a) Nature la série de terme général
un=Znn+1f(x) dx−f(n)

2

b) Nature de la série de terme généralf(n).
(indice : on pourra montrer quesinn13n’admet pas de limite quandn→+∞
c) Nature de la série de terme général
sinn13
n23

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02792 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùαest réel.

nα
n
Pln2k
k=2

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02795 ][correction]
Soitα∈R?. On pose, pourn∈N?

1
un=
n
Pkα
k=1

Nature de la série de terme généralun?

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02810 ][correction]
On posef(x) =sin(lxnx)pour toutx>1etun=Rnn−1f(t) dt−f(n)pour tout
entiern>2.
a) Montrer quef0est intégrable sur[1+∞[.
b) Montrer que la série de terme généralunest absolument convergente.
c) Montrer que la suite(cos(lnn))diverge.
d) En déduire la nature de la série de terme généralf(n).

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Exercice 19X MP[ 03045 ][correction]
Pourn∈N?, soit
fn:x∈]n+∞[→Xn1
x−k
k=1
Soita >0. Montrer qu’il existe un unique réel, notéxntel quefn(xn) =a.
Déterminer un équivalent dexnquandn→+∞.

Exercice 20X MP[ 03086 ][correction]
Etudier
+∞1ekn
nl→i+mnXk2
∞
k=n

Enoncés

Exercice 21[ 03104 ][correction]
On noteanle nombre de chiffres dans l’écriture décimale de l’entiern>1. Pour
quelles valeurs dex∈Ry a-t-il convergence de la série
Xxna3n?

Exercice 22X MP[ 01337 ][correction]
Quelle est la nature de la série de terme général
ei√n?
√n

Exercice 23[ 03449 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Cune fonction de classeC1telle quef0est intégrable sur
[1+∞[.
Montrer que la série numériquePf(n)converge si, et seulement si, la suite
R1nf(t) dtconverge.
Application : Etudier la convergence de
+X∞sinn√n
n=1

Exercice 24[ 00077 ][correction]
A l’aide d’une comparaison avec une intégrale, donner la nature de la série
Xn1lnn
n>2

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Selon queα <0ouα>0, on encadre1kαen exploitant la monotonie de
x7→1xα.
Sachant que
Zdt1α t1−α+Cte−t−→−−→
tα1=−+∞
+∞
on obtient

n1n1−α
Xkα∼1−α
k=1

Exercice 2 :[énoncé]
Puisquex7→x1αest décroissante :Rnn+1xdαx6n1α6Rnn−1xdαxdonc
RN++∞1xdαx6RN6RN+∞xdαxd’où l’on obtient :Rn∼(α−1)1nα−1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Par croissance de la fonction√

donc

et on conclut aisément.
b) On a

Zkk−1√tdt6√k6Zkk+1√tdt

√tdt
Z0n√tdt6nkX=1√k6Zn+1
1

n
lnn! =Xlnk

k=1
et, par croissance de la fonctionln„
Zkk−1lntdt6lnk6Zkk+1ln
tdt

donc

Z1nlntdt6lnn!6Z1n+1lntdt

Corrections

puis on peut conclure.
c) Par décroissance de la fonctionx7→1xlnxsur[1e+∞[,
Zkk+1tdnltt6k1nlk6Zkk−1tdlntt

donc

puis on conclut via

n1
Z2n+k=2lnk6Z1tlnt
1tnldtt6Xkndt
Ztdlntt= ln(lnt) +Cte→+∞

Exercice 4 :[énoncé]
Siα60alors à partir d’un certain rangun>1net la série diverge.
Siα >0alors la fonctionx7→1x(lnx)αest décroissante sur]1+∞[.
ndt
Znn+1t(nldtt)α6un6Zn−1t(lnt)α
donc
Z3N+1tdln(tt)α6nN=X3un6Z2Ntd(lntt)α
puis
ZXNZ

lnN+1dulnNdu
α6un6
ln 3u2uα
n=3 ln
et on peut conclure qu’il y a convergence si, et seulement si,α >1.

Exercice 5 :[énoncé]
Puisquex7→x12est décroissante
Zkk+1dx2x61Zkk−dx
k261x2

donc
+∞dx
Zn++1∞xd2x6k+=Xn∞+1k126Znx2
d’où l’on obtient :un∼1n.
Il y a donc divergence de la série de terme généralun.

4

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Exercice 6 :[énoncé]
Par comparaison avec une intégraleintégrale
Z1nlnt)2dt6k=Xn1(lnk)2
(
Or par une intégration par parties on obtient
n
Z1(lnt)2dt∼n(lnn)2
donc06un6vnavec
1

Corrections

vn∼(lnn)2
n
On peut alors conclure que la série desunconverge absolument par comparaison
avec une série de Bertrand.

Exercice 7 :[énoncé]
La fonctionx7→ √xétant croissante,
n
Z0n√xdx6nkX=1√k6Z+1√xdx
1

et donc
n
X√k∼2n32
3
k=1
Il y a donc convergence de