Sujet : Analyse, Séries numériques, Permutation de termes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Permutation de termes Exercice 1 [ 01031 ] [correction] ? ?Soit σ :N →N une application bijective. a) Déterminer la nature de X 1 2σ(n) n>1 b) Même question pour X 1 σ(n) n>1 Exercice 2 [ 02963 ] [correction] ? ?

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Permutation de termes

Exercice 1[ 01031 ][correction]
Soitσ:N?→N?une application bijective.
a) Déterminer la nature de
X12
n>1σ(n)

b) Mme question pour

X1
n>1σ(n)

Exercice 2[ 02963 ][correction]
Siσest une bijection deN?surN?, montrer la divergence de la série

Xσ(nn2)

Exercice 3[ 02425 ][correction]
Soitσune permutation deN?.
Etudier la nature des séries de termes généraux

1
a)nσ(n)

)
b)nσ(2n

Exercice 4[ 03678 ][correction]
Soitσune permutation deN?.
Quelle est la nature de

n
c)σn(ln)n

σ)?
Xn2l(nnn

(n)
d)nσ3

Enoncés

Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
) La sériePσ n)12est à t
a
n>1 (ermes positifs et pour toutn∈N,

n1n12
XkXk26π6
k=1σ( )26k=1

Corrections

car lesσ(1)     σ(n)des naturels non nuls deux à deux distincts, ils sontétant
dans leur ensemble supérieurs aux naturels1     n.
Les sommes partielles étant majorées, la série est convergente.
b) Puisque1     nsont des valeurs prises par la bijectionσ, pour toutn>1, il
existe un rangNtel que

{1     n} ⊂ {σ(1)     σ(N)}

et alors
nX1k6NX1
k=1k=1σ(k)
n
On conclut que la sérieP1peut converger car
n>1σ(n)nekP=11k→+∞.

Exercice 2 :[énoncé]
Posons

On a

n
Sn=Xkσ(2k)
k=1

2nσ(k2)>412n
S2−Sn=Xk n2Xσ(k)
n
k=n+1k=n+1

Or les entiersσ(n+ 1)     σ(2n)sont, à l’ordre près, au moins égaux à1     net
donc
1n
S2n−Sn>4n2Xk=n+8n1>81
k=1
On en déduit que(Sn)diverge.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Etude dePnσ(1n).
Notons que par permutation des termes d’une série absolument convergente, la
sériePσ(n)2converge.
1
Puisque
1 1
06n(n)62n12+σ(1n)2
σ
on peut aﬃrmer, par comparaison de séries à termes positifs, que la série étudiée
converge.
b) Etude dePnσ(2n).
Posonsun=Pσn(k)On observe
k2.
k=1

n1
u2n−un=2Xnkσ(2k)>4n122Xnσ(k)>14n2Xk=n+8n1→
8
k=n+1k=n+1k=1

d’où l’on conclut que la série diverge.
n)
c) Etude dePnσln(n.
Pournassez grand,n2>nlnndonc

σ(n)6σ(ln)n
n2nn
et donc la série étudiée diverge.
d) Etude dePσ(n3n).
n∈N?
Pourσ:n7→n, la série est convergente.
Pourσ: 2p7→p2et2p+ 17→lep+ 1-ième entier qui n’est pas un carré, la série
contient les termes18pavecp∈N?et est donc divergente.

Exercice 4 :[énoncé]
Posons

On a

Sn=Xnσk2(lk)nk
k=2

S2n+1−S2n>22(n+1)ln21n+12nX+1σ(k)>22(n+1)21nln2+1Xnk
k=2n+1k=1

car les entiersσ(k)de la première somme sont aux moins égaux aux entierskde
la seconde.

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Corrections

On en déduit
et donc
n(2n 1+ 1) 1
S2n+1−S2n>2∼
22n+3(n 8 ln 2+ 1) ln 2n
Puisque la sérieP1ndiverge, il en de mme de la série télescopique
PS2n+1−S2net donc la suite(S2n)tend vers+∞. On en déduit la divergence
de la série étudiée.

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