Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Séries de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries de fonctions Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02839 ] [correction] On pose Z x 2Exercice 1 [ 00896 ] [correction] u (x) = 1 et u (x) = u (t−t )dt0 n+1 n 0Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions pour tout réel x∈ [0,1] et tout entier naturel n.n(−1) Montrer que la série de terme général u est normalement convergente.f (x) = avec n> 1 et x∈Rn n2n+x Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02833 ] [correction]Exercice 2 [ 00895 ] [correction] On note U l’ensemble des complexes de module 1; soit ω un complexe de moduleEtudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions 1= 1. Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction z7→ z−ω 1 soit limite uniforme sur U d’une suite de fonctions polynomiales.f (x) = avec n> 1 et x∈Rn 2 2n +x Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 03754 ] [correction]Exercice 3 [ 00897 ] [correction] +Soit f :R →R continue décroissante et intégrable.On note χ la fonction caractéristique d’un intervalle I : χ (x) = 1 si x∈I, 0I I +Montrer l’existence d’une fonction g :R →R continue vérifiantsinon. Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions +∀x∈R ,g(x+1)−g(x) =f(x) 1 u (x) = χ (x)n [n,n+1[ n+1 Exercice 9 CCP MP [ 03770 ] [correction] sur [0,+∞[. On considère la série des fonctions √ 2 −x nf (x) =nx en Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02838 ] [correction] Soient α∈R et si n∈N, +définie surR .