Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Séries de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Séries de fonctions

Exercice 1[ 00896 ][correction]
Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions
(−1)n1etx∈R
fn(x) =n+x2avecn>

Exercice 2[ 00895 ][correction]
Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions

fn(x) =n21+x2avecn>1etx∈R

Exercice 3[ 00897 ][correction]
On noteχIla fonction caractéristique d’un intervalleI:χI(x) = 1six∈I, 0
sinon.
Etudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions

sur[0+∞[.

un(x) =n+11χ[nn+1[(x)

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02838 ][correction]
Soientα∈Ret sin∈N,

un:x∈[01]7→nαxn(1−x)∈R

Etudier le mode convergence de la suite de fonctions(un), puis de la série de
fonctionsPun.

Exercice 5[ 00882 ][correction]
Soientf: [01]→Rcontinue etfn: [01]→Rdéfinie par
fn(x) =xnf(x)

Enoncés

a) Former une condition nécessaire et suffisante surfpour que la suite de
fonction(fn)converge uniformément sur[01].
b) Montrer que la série de fonctionsPfnconverge uniformément sur[01]si, et
seulement si,f(1) = 0etfdérivable en 1 avecf0(1) = 0.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02839 ][correction]
On pose
u0(x) = 1etun+1(x) =Z0xun(t−t2) dt
pour tout réelx∈[01]et tout entier natureln.
Montrer que la série de terme généralunest normalement convergente.

1

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02833 ][correction]
On noteU soitl’ensemble des complexes de module 1 ;ωun complexe de module
6= 1. Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonctionz7→z−1ω
soit limite uniforme surUd’une suite de fonctions polynomiales.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 03754 ][correction]
Soitf:R+→Rcontinue décroissante et intégrable.
Montrer l’existence d’une fonctiong:R+→Rcontinue vérifiant

∀x∈R+ g(x+ 1)−g(x) =f(x)

Exercice 9CCP MP[ 03770 ][correction]
On considère la série des fonctions
fn(x) =nx2e−x√n

définie surR+.
Etudier sa convergence simple, sa convergence normale et sa convergence
uniforme.

Exercice 10CCP MP[ 03785 ][correction]
On introduit l’application sur[0+∞[

xne−x
fn:x7→n!

a) Etudier les convergences de la suite de fonctions(fn).
b) Etudier les convergences de la série de fonctionsPfn.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On akfnk∞= 1norP1ndiverge donc il n’y a pas convergence normale surR.
Pourx∈R, la série numériquePfn(x)satisfait le critère de Leibniz, il y a donc
convergence simple surRet

+∞n 1( )26N11+
Xf x6N+ 1 +x
n=N+1
donckRNk∞6N1+1→0. Il y a donc convergence uniforme surR.

Exercice 2 :[énoncé]
|fn(x)|61n2etP1n2Il y a donc convergence normale, doncconverge.
uniforme, donc simple surR.

Exercice 3 :[énoncé]
Il y a convergence simple, uniforme mais pas normale vers la fonction
x→1E+(x)oùE+(x)désigne le plus petit entier supérieur àx.

Exercice 4 :[énoncé]
Six= 1alorsun(x) = 0→0. Six∈]01]alorsun(x)→0. La suite(un)converge
simplement vers la fonction nulle.
u0n(x) =nαxn−nα+1xn−1(1−x) =nαxn−1(n−(n+ 1)x).
kunk∞=unnn+ 1=nαn1+11−n1+1n
Orn1+1∼n1et1−n=enln(1−n1+1)=e−1+o(1)→1edonc
1
n+1

kunk∞∼nα−1e

Il y a convergence uniforme sur[01]si, et seulement si,α <1.
Pour toutx∈[01],Pun(x)converge,kunk∞∼enα−1, il y a donc convergence
normale sur[01]si, et seulement si,α <0.
Pourα>0,un(x)>xn(1−x) =vn(x).
Or
k+X=∞0vknn+ 1>k+=Xn∞+1vknn+ 1=n1+1k+=Xn∞+1nn+ 1k→e1

donc
+∞+∞
Xvnk→+∞Xvk(1)
k=0nn+ 16−−k=0
−−→
La sériePvnne converge donc pas uniformément vers[01]et par suitePun
non plus.
Enfin poura <1, on akunk∞[0a]=un(a)et donc(un)converge uniformément
sur[0 a]etPunconverge normalement sur[0 a]pour toutα∈R.

Exercice 5 :[énoncé]
a) La suite de fonctions(fn)converge simplement vers la fonction
x7→0f(1)issixx∈[01=1[

Puisque les fonctionsfnsont continues, pour qu’il y ait convergence uniforme, il
est nécessaire que la fonction limite soit continue et donc quef(1) = 0.
Inversement, supposonsf(1) = 0.
Pour toutε >0, il existeα >0tel que

∀x∈[01]|x−1|6α⇒ |f(x)|6ε

Sur[01−α],|fn(x)|6(1−α)nkfk∞et sur[1−α1],|fn(x)|6|f(x)|6ε
Puisque(1−α)n→0, il existeN∈Ntel que

∀n>N(1−α)nkfk∞6ε

On a alors pour toutn>Net toutx∈[01],|fn(x)|6εdonckfnk∞6ε.
U˜
Ainsifn−C−→0.
b) Supposons quePfnconverge uniformément sur[01].
Puisqu’il n’y a pas divergence grossière, on afn(1)→0et doncf(1) = 0.
NotonsSla somme sur[01]de la série de fonctionsPfn.
Pourx∈[01[,
+∞(x) =f( )
S(x) =Xxnf1−xx
n=0
et
+∞
X

S(1) =f(1) = 0
n=0
Or la fonctionSest continue comme somme uniformément convergente d’une
série de fonctions continues.

2

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Par suitelimS(x) = 0ce qui donne
x→1−

limf(x)−f(1) = 0
x→1x−1

Corrections

Ainsifest dérivable en 1 etf0(1) = 0.
Inversement, supposonsf(1) = 0,fdérivable en 1 etf0(1) = 0.
Posons(Sn)la suite des sommes partielles de la sériePfn.
Pourx6= 1,
Sn(x) = 1 1−−xnx+1f(x)
Posonsg:x∈[01[7→f(1−xx)prolongée par continuité en 1 par la valeurg(1) = 0.
La fonctiongest continue sur[01]etg(1) = 0donc la suite(gn)définie par
˜
gn:x7→xng(x)converge uniformément vers0sur[01]. Or
Sn(x) =g(x)−gn+1(x)doncSn[C0−U−1→]get la sériePfnconverge uniformément.

Exercice 6 :[énoncé]
Remarquons que pour toutt∈[01],

Pourx∈[014],

t−t2∈[014]

1
|un+1(x)|6xkunk∞[014]64kunk∞[014]

Par une récurrence facile
donc aisément

1
kunk∞[014]64n
Par la remarque initiale, pour toutx∈[01],

|un+1(x)|6kunk∞[014]614n

donc
kun+1k∞[01]641n
On peut conclure que la sériePunest normalement convergente.

Exercice 7 :[énoncé]
Si|ω|>1alors
1 1+∞
=−ωXzωnn
z−ω
n=0
et la convergence normale surUde la série assure la convergence uniforme d’une
suite de polynômes versz7→z−1ω.
Si|ω|<1, on peut remarquer que pourk∈N,
Z2πeeiθ−i−kθωdθ=n+X=∞0ωnZ02πe−i(n+(k+1))θdθ= 0
0

3

Siz7→Pn(z)est une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément
surUversz7→1alors
z−ω
Z20πPn(eiθ)eiθ1−ωdθn−→−−+−∞→Z02π|eiθd−θω|26= 0
Or par le calcul précédent, on peut affirmerR02πPn(eiθ)eiθ1−ωdθ= 0et conclure à
une absurdité.

Exercice 8 :[énoncé]
Puisquefest décroissante,fadmet une limite en+∞et puisquefest intégrable
cette limite est nécessairement nulle, en particulierfest positive. Par télescopage,
on observe
N−1
g(x+N)−g(x) =Xf(x+k)
k=0
et s’il l’on s’adjoint la contrainte d’une limite nulle àgen+∞, on est tenté de
poser
+∞
g(x) =−Xf(x+k)

k=0
Il reste à montrer que cette