Sujet : Analyse, Topologie, Densité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Densité Exercice 7 [ 00023 ] [correction] a) Montrer que{cos(n)/n∈N} est dense dans [−1, 1]. ?b) Montrer que{cos(lnn)/n∈N} est dense dans [−1, 1].Exercice 1 [ 01130 ] [correction] Montrer que GL (R) est dense dansM (R).n n On pourra considérer, pour A∈M (R), les matrices de la forme A−λI .n n Exercice 8 [ 01134 ] [correction] (N)On noteR l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. (N) 1a) Montrer queR est dense dans ‘ (R). Exercice 2 [ 01131 ] [correction] (N) ∞b)R est-il dense dans ‘ (R)? Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. ¯a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense. Exercice 9 [ 01135 ] [correction] Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables deM (C) est dense dansn M (C).n Exercice 3 [ 01132 ] [correction] Soient U et V deux ouverts denses d’un espace vectoriel normé E. Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02779 ] [correction]a) Etablir que U∩V est encore un ouvert dense de E. Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé (E,kk) est dense ou ferméb) En déduire que la réunion de deux fermés d’intérieurs vides est aussi d’intérieur dans E.vide.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Densité

Exercice 1[ 01130 ][correction]
Montrer que GLn(R)est dense dansMn(R).
On pourra considérer, pourA∈ Mn(R), les matrices de la formeA−λIn.

Exercice 2[ 01131 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé etFun sous-espace vectoriel deE.
¯
a) Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE.
b) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense.

Enoncés

Exercice 3[ 01132 ][correction]
SoientUetVdeux ouverts denses d’un espace vectoriel norméE.
a) Etablir queU∩Vest encore un ouvert dense deE.
b) En déduire que la réunion de deux fermés d’intérieurs vides est aussi d’intérieur
vide.

Exercice 4[ 03058 ][correction]
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles telles que

un→+∞,vn→+∞etun+1−un→0

a) Soientε >0etn0∈Ntel que pour toutn>n0,|un+1−un|6ε.
Montrer que pour touta>un0, il existen>n0tel que|un−a|6ε.
b) En déduire que{un−vpn p∈N}est dense dansR.
c) Montrer que l’ensemble{cos(lnn)n∈N?}est dense dans[−11].

Exercice 5X MP[ 03017 ][correction]
Montrer que{m−lnn(m n)∈Z×N?}est dense dansR.

Exercice 6[ 01133 ][correction]
SoitHun sous-groupe de(R+)non réduit à{0}.
a) Justifier l’existence de
a= inf{x∈Hx >0}

b) On supposea >0. Etablira∈HpuisH=aZ.
c) On supposea= 0. Etablir queHest dense dansR.

Exercice 7[ 00023 ][correction]
a) Montrer que{cos(n)n∈N}est dense dans[−11].
b) Montrer que{cos(lnn)n∈N?}est dense dans[−11].

Exercice 8[ 01134 ][correction]
On noteR(N)l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
a) Montrer queR(N)est dense dans`1(R).
b)R(N)est-il dense dans`∞(R)?

Exercice 9[ 01135 ][correction]
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables deMn(C)est dense dans
Mn(C).

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02779 ][correction]
Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé(Ekk)est dense ou fermé
dansE.

1

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02780 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctions réelles définies et continues sur[0+∞[et
dont le carré est intégrable. On admet queEest un espace vectoriel réel. On le
munit de la norme
sZ+0∞f2(t) dt
kk2:f7→
On noteE0l’ensemble desf∈Etelles quefest nulle hors d’un certain segment.
On noteFl’ensemble des fonctions deEdu typex7→P(e−x)e−x22oùP
parcourtR[X]. Montrer queE0est dense dansEpuis queFest dense dansE.

Exercice 12X MP[ 02944 ][correction]
SoitAune partie convexe et partout dense d’un espace euclidienE.
Montrer queA=E.

Exercice 13[ 03018 ][correction]
SoitAune partie non vide deRvérifiant

∀a b∈A,a2+b∈A
Montrer queAest dense dans l’intervalle]infAsupA[.

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Exercice 14X MP[ 03020 ][correction]
SoitAune partie non vide deR+?vérifiant
∀(a b)∈A2√ab∈A

Montrer queA∩(R\Q)est dense dans]infAsupA[.

Exercice 15[ 03059 ][correction]
SoientE=C([01]R)etϕ∈E. On noteNϕ:E→Rl’application définie par

Nϕ(f) =kf ϕk∞

Enoncés

Montrer queNϕest une norme surEsi, et seulement si,ϕ−1(R?)est dense dans
[01].

Exercice 16[ 03402 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On suppose
ustri e,un→+∞etun+1→1
(n)ctement croissantun

Montrer que l’ensemble

um
A=unm > n
est une partie dense dans l’intervalle[1+∞[



Exercice 17[ 03649 ][correction]
SoientAetBdeux parties denses d’un espace norméE.
On suppose la partieAouverte, montrer queA∩Best une partie dense.

Exercice 18[ 00012 ][correction]
Etablir queSn++(R)est dense dansSn+(R).

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
L’applicationλ7→det(A−λIn)est polynomiale non nulle enλdonc possède un
nombre fini de racine.
Par suite :∀A∈ Mn(R)∀α >0 B(A α)∩GLn(R)6=∅.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soientu v∈F¯etλ µ∈R. Il existe(un)(vn)∈FNtelles queun→uetA.
¯
Commeλun+µvn→λu+µvetλun+µvn∈Fon aλu+µv∈F.
b) SoitHun hyperplan deE.
¯
SiH=HalorsHest fermé.
¯
Sinon alorsHest un sous-espace vectoriel deE, contenantHet distinct deH.
PuisqueHest un hyperplan∃a ∈Htel queH⊕Vect(a) =E.
¯
Soitx∈H\H. On peut écrirex=h+λaavech∈Hetλ6= 0. Par opération
¯ ¯ ¯ ¯
a∈Het puisqueH⊂Hon obtientE⊂H. FinalementH=Eet doncHest
dense.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Pour touta∈Eet toutε >0,B(a ε)∩U6=∅carUest dense.
Soitx∈B(a ε)∩U. PuisqueB(a ε)∩Uest ouvert, il existeα >0tel que
B(x α)⊂B(a ε)∩Uet puisqueVest denseB(x α)∩V6=∅. Par suite

B(a ε)∩(U∩V)6=∅

b) SoientFetGdeux fermés d’intérieurs vides.

avecCEF

puis

CE(F∪G)◦=CE(F∪G) =CEF∩CEG

etCEGouverts denses donc

Exercice 4 :[énoncé]
a) Posons

CEF∩CEG=E

(F∪G)◦=∅

A={n>n0a>un}

3

Aest une partie deN, non vide carn0∈Aet majorée carun→+∞.
La partieAadmet donc un plus grand élémentn>n0et pour celui-ci
un6a < un+1.
Par suite|un−a|=|un+1−un|6εcarn>n0.
b) Soientx∈Retε >0.
Puisqueun+1−un→0, il existen0∈Ntel que pour toutn>n0,|un+1−un|6ε.
Puisquevn→+∞, il existep∈Ntel quex+vp>un0.
Par l’étude précédente, il existen∈Ntel que|un−(x+vp)|6εi.e.
|(un−vp)−x|6ε.
Par suite l’ensemble{un−vpn p∈N}est dense dansR.
c) Remarquons que

A={cos(lnn)n∈N?}={cos (ln(n+ 1)−2pπ)n p∈N}

Posonsun= ln(n+ 1)etvn= 2nπ. Les hypothèses précédentes sont réunies et
donc
B={un−vpn p∈N}={ln(n+ 1)−2pπn p∈N}
est dense dansR.
Soientx∈[−11]etθ= arccosx.
Par densité, il existe une suite(θn)d’éléments deBconvergeant versθet, par
continuité de la fonction cosinus, la suite(xn)de terme généralxn= cos(θn)
converge versx= cosθ.
Or cette suite(xn)est une suite d’éléments decos(B) =Aet doncAest dense
dans[−11].

Exercice 5 :[énoncé]
Soientx∈Retε >0.
Il existen0∈N?tel que1n06ε.
Poura>lnn0etn=E(ea)>n0, on alnn6a6ln(n+ 1).
On en déduit

|a−lnn|6ln(n+ 1)−lnn= ln(1 + 1n)61n61n06ε

Puisquem−x−m−−→−+−∞→+∞, pourmassez grand, on aa=m−x>lnn0et donc
il existen∈N?vérifiant|a−lnn|6εi.e.

|m−lnn−x|6ε

Par suite{m−lnn(m n)∈Z×N?}est dense dansR.

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a) Il existeh∈Htel queh6= 0carHn’est pas réduit à{0}.
Sih >0alorsh∈ {x∈Hx >0}. Sih <0alors−h∈ {x∈Hx >0}.
Dans les deux cas{x∈Hx >0} 6=∅. De plus{x∈Hx >0} ⊂Ret
{x∈Hx >0}est minoré par 0 donca= inf{x∈Hx >0}existe dansR.
b) On supposea >0.
Sia∈ Halors il existex y∈Htel quea < x < y <2aet alorsy−xest élément
deHet vérifie0< y−x < ace qui contredit la définition dea. C’est absurde.