Sujet : Analyse, Topologie, Ouverts et fermés

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Ouverts et fermés Exercice 6 Centrale MP [ 01108 ] [correction] Soit E leR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme Exercice 1 [ 01103 ] [correction] kuk = sup|u |n∞Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante n∈N d’ouverts. Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A ={suites croissantes}, B ={suites convergeant vers 0}, C ={ convergentes}, Exercice 2 [ 01104 ] [correction] 0 D = suites admettant 0 pour valeur d adhérence et E ={suites périodiques}.2On désigne par p et p les applications coordonnées deR définies par1 2 p (x ,x ) =x .i 1 2 i 2a) Soit O un ouvert deR , montrer que p (O) et p (O) sont des ouverts deR.1 2 Exercice 7 [ 01110 ] [correction]2 2b) Soit H = (x,y)∈R |xy = 1 . Montrer que H est un fermé deR et que (N)On noteR l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. p (H) et p (H) ne sont pas des fermés deR.1 2 (N) ∞a) Montrer queR est un sous-espace vectoriel de ‘ (R). c) Montrer que si F est fermé et que p (F ) est borné, alors p (F ) est fermé.2 1 b) Est-il ouvert? c) Est-il fermé? Exercice 3 [ 01105 ] [correction] Montrer que si un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel normé E est Exercice 8 [ 01112 ] [correction] ouvert alors F =E. Soient E et E deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que1 2 E =E ∪E .

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Ouverts et fermés

Enoncés

Exercice 1[ 01103 ][correction]
Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante
d’ouverts.

Exercice 2[ 01104 ][correction]
On désigne parp1etp2les applications coordonnées deR2définies par
pi(x1 x2) =xi.
a) SoitOun ouvert deR2, montrer quep1(O)etp2(O)sont des ouverts deR.
b) SoitH=(x y)∈R2|xy= 1. Montrer queHest un fermé deR2et que
p1(H)etp2(H)ne sont pas des fermés deR.
c) Montrer que siFest fermé et quep2(F)est borné, alorsp1(F)est fermé.

Exercice 3[ 01105 ][correction]
Montrer que si un sous-espace vectorielFd’un espace vectoriel norméEest
ouvert alorsF=E.

Exercice 4[ 01106 ][correction]
SoientA Bdeux parties non vides d’un espace vectoriel norméEtelles que

d(A B inf) =Bd(x y)>0
x∈Ay∈

Montrer qu’il existe deux ouverts disjointsUetVtels queA⊂UetB⊂V.

Exercice 5[ 01107 ][correction]
SoitEune espace vectoriel normé.
a) SoientFune partie fermée non vide deEetx∈E. Montrer

d(x F) = 0⇔x∈F

b) SoientFetGdeux fermés non vides et disjoints deE.
Montrer qu’il existe deux ouvertsUetVtels que

F⊂U G⊂VetU∩V=∅

Exercice 6Centrale MP[ 01108 ][correction]
SoitEleR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme

kuk∞= sup|un|
n∈N

Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non :
A={suites croissantes},B={suites convergeant vers 0},
C={suites convergentes},
D=suites admettant0pour valeur d0adhérenceetE={suites périodiques}.

Exercice 7[ 01110 ][correction]
On noteR(N)l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
a) Montrer queR(N)est un sous-espace vectoriel de`∞(R).
b) Est-il ouvert ?
c) Est-il fermé ?

Exercice 8[ 01112 ][correction]
SoientE1etE2deux parties fermés d’un espace vectoriel norméEtelle que
E=E1∪E2.
Montrer qu’une applicationf:E→Fest continue si, et seulement si, ses
restrictionsf1etf2au départ deE1et deE2le sont.

1

Exercice 9[ 02637 ][correction]
On note(|)le produit scalaire canonique surRnetkkle produit scalaire
associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : six y∈Rn,(x|y)6kxk kyk
avec égalité si, et seulement si,xetysont colinéaires et de mme sens.
a) Soitx a b∈Rntel quea6=betkx−ak=kx−bk. Montrer que

b<ka
x−a2+x− k

b) SoitFun fermé non vide deRnetx∈Rn. Montrer qu’il existea∈F

kx−ak=yin∈fFkx−yk

tel que

On supposera d’abord queFest borné avant d’étudier le cas général.
c) SoitAun convexe fermé non vide deRn. Montrer qu’il existe un uniquea∈A
tel que
kx−ak=yi∈nfAkx−yk

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Enoncés

On notea=P(x)ce qui définit une applicationP:Rn→Aappelée projection
sur le convexeA.
d) Montrer que s’il existea∈Atel que(x−a|y−a)60pour touty∈A, on a
a=P(x).
e) On suppose qu’il existe uny∈Atel que

(x−P(x)|y−P(x))>0
En considérant les vecteurs de la formety+ (1−t)P(x)avect∈[01], obtenir une
contradiction.
f) Déduire de d) et e) quea=P(x)si, et seulement si,a∈Aet(x−a|y−a)60
pour touty∈A.
g) Etablir que pour toutx y∈Rn,

(x−y|P(x)−P(y))>kP(x)−P(y)k2

En déduire quePest continue.

Exercice 10Centrale MP[ 02415 ][correction]
SoitAune partie non vide deRtelle que pour toutxréel il existe un et un seul
y∈Atel que|x−y|=d(x A). Montrer queAest un intervalle fermé.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02770 ][correction]
On munit l’espace des suites bornées réelles`∞(R)de la norme
kuk∞= supn(|un|).
a) Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé de`∞(R).
b) Montrer que l’ensemble des suites(an)qui sont terme général d’une série
absolument convergente n’est pas un fermé de`∞(R).

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02771 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites(an)n>0deCtelles queP|an|converge. Si
a= (an)n>0appartient àE, on pose

+∞
kak=X|an|
n=0

a) Montrer quekkest une norme surE.
b) Soit
+
F=(a∈En=X∞0an= 1
L’ensembleF ?est-il ouvert ? fermé ?. borné

)

Exercice 13X MP[ 03021 ][correction]
SoitEun espace vectoriel normé,Fun sous-espace fermé deEetGun
sous-espace vectoriel de dimension finie deE. Montrer queF+Gest fermé

Exercice 14X MP[ 03037 ][correction]
Caractériser dansMn(C)les matrices dont la classe de similitude est fermée.
Mme question avecRau lieu deC

Exercice 15[ 02507 ][correction]
SoientE=C([01]R)normé parkk∞et la partie
A=f∈Ef(0) = 0etZ10f(t) dt>1

a) Montrer queAest une partie fermée.
b) Vérifier que
∀f∈Akfk∞>1

Exercice 16[ 03066 ][correction]
SoientE=C([01]R)normé parkk∞et la partie
A=f∈Ef(0) = 0etZ10f(t) dt>

a) Montrer queAest une partie fermée.
b) Vérifier que
∀f∈Akfk∞>1
c) Calculer la distance de la fonction nulle à la partieA.

1

Exercice 17[ 03289 ][correction]
a) Montrer que les parties
A=(x y)∈R2xy= 1etB={0} ×R

sont fermées.
b) Observer queA+Bn’est pas fermée.

2

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Exercice 18[ 03290 ][correction]
Montrer queZest une partie fermée deR:
a) en observant que son complémentaire est ouvert ;
b) par la caractérisation séquentielle des parties fermées ;
c) en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue.

Exercice 19[ 03306 ][correction]
DansE=R[X], on considère les normes

L’ensemble

N1(P) = sup|P(t)|
t∈[01]

etN2(P) = sup|P(t)|
t∈[12]

Ω ={P∈EP(0)6= 0}

est-il ouvert pour la normeN1? pour la normeN2?

Enoncés

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
?
SoientFun fermé et pour toutn∈N,
On=[B(a1n)
a∈F

Corrections

Onest un ouvert contenantFdoncFest inclus dans l’intersection desOnpour
n∈N?. Inversement sixappartient à cette intersection, alors, pour toutn∈N, il
existean∈Ftel quex∈B(an1n). La suite(an)converge alors versxet donc
x∈FcarFest fermé. FinalementFest l’intersection desOnpourn∈N?.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soitx∈p1(O), il existey∈Rtel quea= (x y)∈O. CommeOest ouvert, il
existeε >0tel queB∞(a ε)⊂Oet alors]x−ε x+ε[⊂p1(O). Ainsip1(O)et de
mmep2(O)est ouvert.
b) Soit((xn yn))n∈N∈HNtelle que(xn yn)→(x y). Commexnyn= 1, à la
limitexy= 1.
Par la caractérisation séquentielle des fermés,Hest fermé.p1(H) =R?,
p2(H) =R?ne sont pas fermés dansR.
c) Soit(xn)n∈N∈(p1(F))Ntelle quexn→x. Pourn∈N, il existeyntel que
(xn yn)∈F.
La suite((xn yn))est alors une suite bornée dont on peut extraire une suite
convergente :((xϕ(n) yϕ(n))).
Notonsy= limyϕ(n). CommeFest fermé,(x y) = lim(xϕ(n) yϕ(n))∈Fpuis
x=p1((x y))∈p1(F).

Exercice 3 :[énoncé]
o~∈Fdonc∃α >0 B(α~o)⊂Fd’oùF=E.

Exercice 4 :[énoncé]
Les ensembles
U=[B(a d2)etV=[B(b d2)
a∈A b∈B
avecd=d(A B)sont solutions.
En effetUetVsont des ouverts (par réunion d’ouverts) contenantAetB.
UetVsont disjoints car

U∩V6=∅ ⇒ ∃(a b)∈A×