Sujet : Géométrie, Axe radical de deux cercles
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Sujet : Géométrie, Axe radical de deux cercles

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Langue Français
Axe radical de deux cercles 
Dans ce problème,,′′désignent des cercles. On convient de noter systématiquement,′,′′leurs centres et,,>0 leurs rayons respectifs.
Partie I Puissance d’un point par rapport à un cercle -
On appelle puissance d’un pointdu plan pour un cerclele réel()= 22 . On remarque que le cercleest la réunion des pointstels que()=0 . 1. Une droiteissue d’un pointdu plan coupe un cercleen deux pointsetdistincts. On notele point dediamétralement opposé à.   Montrer que.==() . 2. Soitun cercle,un point extérieur à ce cercle. On noteetles points de contacts des tangentes àissues de. 2.a Comment peut-on construire à la règle et au compas les pointset? 2.b Montrer que2=2=() 3. Soit,,, (quatre points distincts tels que les droites) et ( soient pas parallèles.) ne On notele point de concours des droites () et () . Montrer que les points,,,sont cocycliques si et seulement si.=..
Partie II - Axe radical de deux cercles
etdésignent deux cercles non concentriques. 1. On notel’ensemble des pointsdu plan tels que()=() .
1.a
1.b
2. 2.a
2.b
3.
4.
 
On introduitpoint milieu du segment,. ent à cune constante à préciser. Montrer qu’un pointapparti ssi = ⋅ave En déduire queest une droite orthogonale à la droite (′) . Cette droite est appelé axe radical des cercleset. Construction de l’axe radical dans le cas de cercles sécants : On suppose les cerclesetsécants en deux pointsetdistincts. Déterminer l’axe radical deet. On suppose les cerclesettangents en un point. Déterminer l’axe radical deet. On se donne trois cercles,,′′de centres,′,′′non alignés. On note(resp.′,′′) les axes radicaux des cercleset′′(resp.′′et,et) Justifier que,′,′′concourent en un point. Ce point est appelé centre radical des cercles,′′. , Construction de l’axe radical dans le cas de cercles disjoints : On suppose ici que les cerclesetsont disjoints. Donner une construction géométrique de l’axe radical deetbasée sur l’introduction d’un troisième cercle sécant àet.