Sujet : Géométrie, Axe radical de deux cercles

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie du plan. Produit scalaire.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Axe radical de deux cercles 

Dans ce problème, ′ , ′′ désignent des cercles. On convient de noter systématiquement, ′ , ′′ leurs centres et, ′ , ′′ >0 leurs rayons respectifs.

Partie I Puissance d’un point par rapport à un cercle -

On appelle puissance d’un pointdu plan pour un cerclele réel  ()=  2 − 2   . On remarque que le cercleest la réunion des pointstels que  ()=0 . 1. Une droiteissue d’un pointdu plan coupe un cercleen deux pointsetdistincts. On note ′ le point dediamétralement opposé à.   Montrer que.=⋅= ′   () . 2. Soitun cercle,un point extérieur à ce cercle. On noteetles points de contacts des tangentes àissues de. 2.a Comment peut-on construire à la règle et au compas les pointset? 2.b Montrer que 2 = 2 =  () 3. Soit,,, (quatre points distincts tels que les droites) et ( soient pas parallèles.) ne On notele point de concours des droites () et () . Montrer que les points,,,sont cocycliques si et seulement si.=..

Partie II - Axe radical de deux cercles

et ′ désignent deux cercles non concentriques. 1. On notel’ensemble des pointsdu plan tels que  ′ ()=  () .

1.a

1.b

2. 2.a

2.b

3.

4.

 

On introduitpoint milieu du segment,   ′ . ent à   ′     cune constante à préciser. Montrer qu’un pointapparti ssi = ⋅ave En déduire queest une droite orthogonale à la droite ( ′ ) . Cette droite est appelé axe radical des cercleset ′ . Construction de l’axe radical dans le cas de cercles sécants : On suppose les cercleset ′ sécants en deux pointsetdistincts. Déterminer l’axe radical deet ′ . On suppose les cercleset ′ tangents en un point. Déterminer l’axe radical deet ′ . On se donne trois cercles, ′ , ′′ de centres, ′ , ′′ non alignés. On note(resp. ′ , ′′ ) les axes radicaux des cercles ′ et ′′ (resp. ′′ et,et ′ ) Justifier que, ′ , ′′ concourent en un point. Ce point est appelé centre radical des cercles, ′  ′′ . , Construction de l’axe radical dans le cas de cercles disjoints :  On suppose ici que les cercleset ′ sont disjoints. Donner une construction géométrique de l’axe radical deet ′ basée sur l’introduction d’un troisième cercle sécant àet ′ .