Sujet : Géométrie, Dodécaèdre
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Dodécaèdre
   Dans tout le problèmedésigne l’espace géométrique usuel rapporté à un repère orthonormé;,,. On ne manquera pas, pour tout ce qui suit, de se rapporter, pour plus de commodité, au dessin fourni à la fin de l’énoncé.
1. On pose= −1+t  e5=1. 21.a Montrer quedu second degré à coefficients dansest solution d’une équation . Montrer qu’il en est de même pour. 1.b Calculer,,+,et2+2. (On mettra les résultats sous la forme+=5 avec,rationnels.) 2. Etant donnée une droitede l’espace, on appelle demi-tour d’axel’application qui a tout point de l’espace associe l’unique pointtel que le milieu du segment,soit le projeté orthogonal desur.
3.
 
3.a
3.b
4.
5.
 
 5.a 5.b 5.c 6. 6.a
6.b
6.c
On suppose que (a pour coordonnées,,) . Exprimer les coordonnées des points,′′,′′′    images du points (par les demi-tours d’axes respectifs; () ,;) et (;) . On définit les huit sommetsd’un cube noté0comme suit par leurs coordonnées : (1,1,1) ,(1,1,1)(1,1,1) ,(1,1,1)
,désignent leurs symétriques respectifs par rapport à, , . Montrer l’existence d’un point unique(, 0,) avec′ >1 tel que==2et exprimeren fonction de. désigne le transformé dedans le demi-tour d’axe (;) ,etsont les transformés respectifs deetdans la symétrie par rapport à. Déterminer les points,,par leurs coordonnées. On définit de même,,,ainsi que leur symétriques respectifs,,,par rapport àpar les conditions suivantes : =2,==2,etse correspondent dans le demi-tout la pre e è (i) r d’axe (, r mi) e coordonnée deest supérieure à 1.    (ii)=2,==2,et (se correspondent dans le demi-tour d’axe,) et la seconde coordonnée deest supérieure à 1. Préciser en fonction deetles coordonnées de ces huit nouveaux points. L’ensemble des vingt points :
,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ′ ′ ′ ′ ′ ′ ainsi définis déterminent un dodécaèdre qui sera considéré comme l’ensemble de ces vingt points. On appelle face du dodécaèdre l’un des douze sous-ensembles de sommets suivants :    ,, , , , ainsi que les six autres obtenus par symétrie par rapport à. Montrer que les pointsappartiennent à un même plan et donner une équation de ce plan. Donner aussi une équation de la face. Observer que les distances,,,etsont égales. On poseleur valeur commune. On notel’isobarycentre des points. Déterminer les coordonnées du point. (N.B. On laissera ces coordonnées sous la forme+5 avecetrationnels). Observer que les distances,,,,sont égales. On poseleur valeur commune. V u=. érifier q e 2 10 2 5
Cette dernière relation permet d’assurer faces.
 
que
est un pentagone régulier, il en est de même des autres
  
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