Sujet : Géométrie, Etude de la cardioïde

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 170
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Etude métrique et construction de la cardioïde

Le plan géométrique euclidien est muni d’un repère orthonormé direct=(;  ,  ) .     Pour toutθ∈ℝ, on note  θ =cosθ.+sinθ.et  θ = −sinθ.+cosθ.les vecteurs polaires d’angleθ. L’objet de ce problème est l’étude de la courbeΓdéfinie par l’équation polaire ρ=1+cosθ , c’est à dire la  courbe de point courant(θ) déterminé par(θ)=ρ(θ)  θ avecρ(θ)=1+cosθ. 1.a Comparer les points(θ) et(θ+2π) d’une part et(θ) et(−θ) d’autre part. Pour étudierΓ, à quel intervalle peut-on limiter l’étude de la fonction ρ:θ֏1+cosθ ?

1.b

1.c 1.d

2.a 2.b 2.c 3.

3.a

3.b

Dresser le tableau de variation de la fonction ρ:θ֏1+cosθ sur 0,π.

Préciser, pour les paramètresθ=0 ,θ=π,θ=π2 , le point et la tangente à la courbe en ce point. Donner l'allure de la courbeΓ. Calculer la longueur de la courbeΓ. Calculer le rayon de courbure en tout point régulier deΓ. Calculer l'aire du domaine borné délimité parΓ. On notele cercle de centre 0)(1 2, passant par et. On rappelle que l’équation polaire de cercle est ρ=cosθ .

On note(θ) le milieu du segment d’extrémités(θ) et(θ+π) . Justifier que(θ)∈et calculer la longueur(θ)(θ) .

On note(θ point du cercle) lediamétralement opposé au point(θ) .  Exprimer(θ) en fonction deθet du vecteur  θ .

3.c A quelles conditions particulières a-t-on(θ)=(θ) ? On suppose désormais ce cas exclu. 3.d Montrer que la droite joignant les points(θ) et(θ orthogonale à la tangente à) estΓen(θ) . 3.e Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du cercle, de construire les points(θ les tangentes à) etΓen ces points.