Sujet : Géométrie, Géométrie de l'espace, Coordonnées cartésiennes dans l'espace

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Coordonnées cartésiennes dans l’espace Exercice 6 [ 01893 ] [correction] ~~ ~On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé directR = (O;i,j,k).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Coordonnées cartésiennes dans l’espace

Exercice 1[ 01888 ][correction]
Montrer que l’ensemble formé des pointsM(x y z)avec
xzy+2=1=+=2−2sss+−+2tttpour(s t)∈R2

est un plan dont on formera une équation cartésienne.

Exercice 2[ 01889 ][correction]
Déterminer une équation du plan parallèle à l’axe(Ox)passant par les points
A(012)etB(2−10).

Enoncés

Exercice 3[ 01890 ][correction]
SoitPle plan d’équationP:x+y+z= 1.
Déterminer un repère orthonormé directR= (Ω~wv~~u)tel queΩ∈ P ∩(Oz)et
~uv~∈dirP.

Exercice 4[ 01891 ][correction]
On considère les cinq points de l’espace

A(12−1),B(320),C(21−1)D(104)etE(−111)

Déterminer un vecteur directeur de la droite intersection des plans(ABC)et
(ADE).

Exercice 5[ 01892 ][correction]
Montrer que les droites
D:(xy=2=zz−+11etD0:(xy==3zz+−23

de l’espace sont coplanaires et former un équation de leur plan.

Exercice 6[ 01893 ][correction]
On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé directR= (O;k~~j~i).
Soit la droite
x+y+z= 1
D(x−2y−z= 0
:

et le plan

P:x+ 3y+ 2z= 6

de l’espace.
Déterminer l’image de la projection orthogonale deDsur le planP.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
IntroduisonsA(221),u~(12−1)et~v(21−1).u~etv~ne sont pas colinéaires.
Les pointsMconsidérés sont ceux de la formeM=A+us~+vt~avecs t∈R,
donc les points du plan(A;u~v~)dont l’équation est

x+y+ 3z= 7

Exercice 2 :é é]
~(100)etA−→B[(2non−c2−2) qui a pour équation landirig e
ient c p

z−y= 1

Exercice 3 :[énoncé]
0 1√13√2
Ω 0,~w1√3,u~−1√2etv~=w~∧u~.
11√30

Exercice 4 :[é=noAn−→Bcé]∧A−→Cetv~=A−→D−→∧rs normaux aux deux plans.
ConsidéronsAE~uvecteu

~u(11−2)etv~(1−10−4)


Les plans ne sont pas parallèles, ils s’intersectent selon une droite dirigée par
~ ~∧~v
w=u
~w(−242−11)

Exercice 5 :[énoncé]
1
Les droitesDetD0passent par les pointsA−
0

2 1
vecteurs~u1etv~3.
11

1etB


2
−3et sont dirigées par les
0

Puisque

A−→B


les droitesDetD0sont coplanaires.
Elles sont incluses dans le plan

1
2~ ~
−=u−v
0

P: 2x+y−5z= 1

2

Exercice 6 :[énoncé]
1
La droiteDest dirigée par le vecteur~2.
u
−3
La droiteDn’est pas orthogonale au planPet sa projection est donc une droite
D0contenue dans le planPet dans le planP0contenantDet un vecteur normal à
P.
Puisque
P0: 13x−5y+z= 7

on a

0:(1x3x+−3y5y+2+zz7=6=
D

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