Sujet : Géométrie, Géométrie de l'espace, Perpendiculaire commune

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Perpendiculaire commune Exercice 1 [ 01896 ] [correction] 0SoientD =A +Vect(~u) etD =B +Vect(~v) deux droites non coplanaires de l’espace.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Perpendiculaire commune

Enoncés

Exercice 1[ 01896 ][correction]
SoientD=A+Vect(u~)etD0=B+Vect(~v)deux droites non coplanaires de
l’espace.
On noteHetH0les pieds de la perpendiculaire commune àDetD0.
a) Montrer que pour toutM∈ Det toutM0∈ D0, on aM M0>H H0et préciser
le(s) cas d’égalité.
On appelle distance deDàD0le réeld(DD0) =H H0.
n
b) Soit~un vecteur non nul ort−h−og→onal àu~etv~.
−
Montrer que le produit scalaireM M0∙~nreste constants quandMetM0décrivent
DetD0
.
c) En déduire que
0) =Det(A−→Bv~u~)
d(DDk~u∧~vk

Exercice 2
Soient

[ 01897 ][correction]
(x−yz1==1

D:

x= 1
etD0:(z= 0
y−

deux droites de l’espace.
a) Justifier queDetD0ne sont pas coplanaires.
b) Former un système d’équations cartésiennes de la perpendiculaire commune à
DetD0.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Par Pythagore
M M02=H H02+H−−M→+−H−0−M→02
−→−−
carH−H0etH M→+−H−0−M→0 onaux.sont ortho
−−
−−
OParrpsuuiistqeueMleMs0ve>ctHeuHr0asH−v−eM→celagé−Hit−0é−Ms→g0,i,tsenemsaocnoptnseH M→+H0−M→0=~0.
i et seul
s carDet
coplanairesHt−M→=~0e−−0−→linéaire (D0non
), ce−la−→équiv+autH−−aH→0−∙~n+H−0−M→t∙HMn~=0−=−~→0i.e.M=HetM0=H0.
b)−M−−M→0∙~n=M H∙~n H H0∙~n.
c)~n=u~∧~vest orthogonal à~etv~.
u

−−→
H H0∙~n
H H0=k~nk=

−−→
car, par b),A−→B∙~n=H H0∙n.
~

−
A→B∙~n
 
k~k
n

=

−
Det(A→~v~uB)

ku~∧~vk

Exercice 2 :[énoncé]
DetD0passent parA(101)etB(100)et sont dirigées paru~(110)et
~v(011).
a) Les droitesDetD0ne sont ni parallèles ni sécantes donc non coplanaires.
NotonsΔla perpendiculaire commune àDetD0.
b) Posons~w=~u∧~v,~w(111).
−
P:−x+y+ 2z= 1contientDetΔ,P0: 2x+y−z= 2contientD0etΔ.
Ainsi
Δ :(−2xx++yy+−2zz=2=1

2

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