Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées cartésiennes

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Courbes en coordonnées cartésiennes Exercice 5 [ 01348 ] [correction] Etudier la courbe définie par (Exercice 1 Mines-Ponts MP [ 03064 ] [correction] 2x = cos t + ln|sint| [Astroïde] y = cost sinta) Etudier et représenter la courbe définie par ( 3 x = cos t 3 Exercice 6 CCP MP [ 02581 ] [correction]y = sin t Etudier et représenter ( 2b) Trouver le lieu des points H tels que H est le projeté orthogonal de O sur la x(t) = cos t + ln|sint| normale à la courbe en un point donné y(t) = sint cost Exercice 2 [ 00587 ] [correction] Exercice 7 CCP PSI [ 03386 ] [correction] Soit t7→M(t) un arc régulier tel qu’en tout point M(t) la tangente soit a) Etudier les variations de 3 3D : (t + 3t)x− 2y =tt 3 3t x = et y = 2 2t +t + 1 t +t + 1Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le représenter. b) Montrer que la courbe C ainsi définie est inscrite à l’intérieur d’un carré à préciser. c) Donner l’allure de C. Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 00591 ] [correction] d) une équation cartésienne de C, quelle est la nature de C? a) Etudier la courbe ( 2x = 3t 3y = 2t b) Donner une équation de la tangente et de la normale en M(t). c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe. Exercice 4 [ 00590 ] [correction] a) Etudier et représenter la courbe définie par ( 3x = 4t 4y = 3t b) Former une équation de la tangente au point de paramètre t∈R.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 52
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• Langue: Français

Extrait

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Courbes en coordonnées cartésiennes

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 03064 ][correction]
[Astroïde]
a) Etudier et représenter la courbe définie par

x=t
(y=sinsco33t

b) Trouver le lieu des pointsHtels queHest le projeté orthogonal deOsur la
normale à la courbe en un point donné

Exercice 2[ 00587 ][correction]
Soitt7→M(t)un arc régulier tel qu’en tout pointM(t)la tangente soit

Dt: (t3+ 3t)x−2y=t3

Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l’arc étudié et le
représenter.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 00591 ][correction]
a) Etudier la courbe
(yx=2=3tt32

Enoncés

b) Donner une équation de la tangente et de la normale enM(t).
c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.

Exercice 4[ 00590 ][correction]
a) Etudier et représenter la courbe définie par
(xy=4=3tt43

b) Former une équation de la tangente au point de paramètret∈R.
c) Déterminer un paramétrage du lieu des points d’où l’on peut mener deux
tangentes à la courbe précédente orthogonales et étudier cette courbe.

Exercice 5[ 01348 ][correction]
Etudier la courbe définie par
(xy==ssococ2ttn+sitln|sint|

Exercice 6CCP MP[ 02581 ][correction]
Etudier et représenter
(xy((ttn)c=ssoi)=2ttc+ostln|sint|

Exercice 7CCP PSI[ 03386 ][correction]
a) Etudier les variations de

3 3t
x=t2+t+ 1ety=t2+t+ 1

b) Montrer que la courbeCainsi définie est inscrite à l’intérieur d’un carré à
préciser.
c) Donner l’allure deC.
d) Donner une équation cartésienne deC, quelle est la nature deC?

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
M(π2−t)est le symétrique deM(t)par rapport à la droitΔ :y=x.
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axeΔ,(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées

Etude ent= 0
Quandt→0

(yx00((tt3))==−cs3iostnstcin2ost2t

t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)

0
0
1
0
0
?

−
&
%
+
−

π4
−3√8
2−32
2−32
3√8
−1

xy((tt)=0=)1t−2+23tt2+ 0t3+o(t3)
3+o(t3)

p= 2,q= 3,u0−32etv~10.
~
La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
plot([cos(t)ˆ3, sin(t)ˆ3, t=0..2*Pi]);

2

L’astroïde b) En un point régulierM(t)la normale étant la droite perpendiculaire
enM(t)à la tangente en ce point qui est dirigée par le vecteur vitesse, cette
droite à pour équation
x0(t) (x−x(t)) +y0(t) (y−y(t)) = 0

Après simplification, on obtient l’équation

−cos(t)x+ sin(t)y+ cos(2t) = 0

et cette équation est encore valable lorsque le pointM(t)n’est par régulier.
Le projeté orthogonal du pointOsur cette droite est un pointHde coordonnées
(x0 y0)vérifiant
−cos(t)x0+ sin(t)y0+ cos(2t0) = 0
ost
∃λ∈Rxy00!=λ−sinct!

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C’est le point de coordonnées

cos(2t) cos(t
(yx00==−cos(2tis(n))t)

Le lieu des pointsHapparaît alors comme étant la courbe d’équation polaire

r= cos(2t)

Corrections

r(t+π) =r(t),r(−t) =r(t)etr(π2−t) =−r(t).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]et l’on complète la courbe par :
- la symétrie orthogonale par rapport à la perpendiculaire à la droite d’équation
θ=π4;
- la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses ;
- la symétrie de centreO.
Le tableau de variation de la fonctionrest

t
r(t)

0
1

&

π4
0

Enθ= 0
r(0) = 1 r0(0) = 0, il y a une tangente orthoradiale.
Enθ=π4
r(π4) = 0, il y a passage par l’origine, la tangente est la droite d’équation polaire
θ=π4.

La courbe d’équation polairer= cos(2θ)

Exercice 2 :[énoncé]
(t)x(t)
My(t)etdO−d−tM→(t)yx00((tt))6=~0.
M(t)∈Dtdonc
(t3+ 3t)x(t)−2y(t) =t3(1)

−−2
dOdtM→(t)est colinéaire à~utt3+ 3tonc
vecteur directeur deDtd

(t3+ 3t)x0(t)−2y0(t) = 0(2)

3

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En dérivant (1) et en exploitant (2) on obtient :

(3t2+ 3)x(t) = 3t2

Corrections

doncx(t) =1+t2t2puisy(t)1t+3t2.
=
L’applicationt7→M(t)correspondante est définie et de classeC∞surR.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Ox)
Tableau des variations simultanées

Etude ent= 0
Quandt→0

On en déduit

t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)

0
0
0
0
0
?

+
%
%
+
+

+∞

1
+∞

(xy((tt)=)0=t2t20++tt33++oo((tt33))

1
p= 2,q= 3,u~
0,

0
~
v
1

M(0)est un point de rebroussement de première espèce de tangente horizontale.
Etude quandt→+∞
x(t)→1−t(t)→+∞
ey
La droiteΔ :x= 1à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.est asymptote
plot([tˆ2/(1+tˆ2), tˆ3/(1+tˆ2), t=-5..5], view=[-1..1, -2..2],
xtickmarks=[-1, 0, 1]);

4

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La courbex=t2(1 +t2) y=t3(1 +t2)

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(−t)etM(t)sont symétriques par rapport à(Ox).
Etude limitée à[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe
(Ox)
x0(t) = 6t
(y0(t) = 6t2

x0
(y0((tt)=0=)0⇔⇔tt=0=0

t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)

0
0
0
0
0
?

+
%
%
+
+

+∞

+∞
+∞

Etude ent= 0
(x(t) = 3t2+ 0t3
y(t) = 0t2+ 2t3
3 0
p= 2,q= 3,~u0,v~2

M(0)de rebroussement de première espèce avec tangente horizontale.est point
Etude quandt→+∞
yx((tt))→+∞etx(t)→+∞
Il y a une branche parabolique verticale.
plot([3*tˆ2, 2*tˆ3, t=-5..5], view=[-1..4, -4..4]);

La courbex= 3t2 y= 2t3

5

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b) Pourt6= 0, la tangenteDtenM(t)a pour équation

−t2(x−3t2) +t(y−2t3) = 0

soit
tx−y=t3
Pourt6= 0, la normaleNtenM(t)a pour équation

t(x−3t2)−t2(y−2t3) = 0

soit
tx−t2y= 3t3−2t5
Ces équations sont encore valables pourt= 0.
c) La tangenteDtest normale à la courbe au pointM(τ)si, et seulement si,
3tτ2−2τ3=t3
(tτ+t2τ2= 0

ce qui traduitM(τ)∈ Dtet l’orthogonalité des tangentes enM(t)etM(τ).
Sit= 0alorsτ= 0mais le couple(00)n’est pas solution.
Sit6= 0alorsτ