Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées polaires classiques
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Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées polaires classiques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Courbes en coordonnées polaires classiques Exercice 4 [ 00604 ] [correction] [Strophoïde droite] a) Etudier la courbe d’équation polaireExercice 1 [ 00601 ] [correction] [Cardioïde] cos 2θ On considère la cardioïde Γ d’équation polaire r = 1 + cosθ de point courant r = sinθ M(θ). a) Etudier et représenter la courbe Γ. 0 b) On note F et on considère P un point de l’axe (Ox) autre que O.b) Montrer que le milieu I(θ) du segment d’extrémités M(θ) et M(θ +π) évolue −1 sur un cercleC que l’on précisera. Calculer la longueur I(θ)M(θ). Montrer que les points M intersection de la droite (FP ) et de la courbe sont telsc) On note J(θ) le point du cercleC diamétralement opposé au point I(θ). −−−→ que PM =PO. Exprimer OJ(θ) en fonction de θ et du vecteur~v de la base polaire.θ c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée. d) A quelle(s) condition(s) a-t-on J(θ) =M(θ)? On suppose désormais ce cas exclu. e) Montrer que la droite joignant les points J(θ) et M(θ) est orthogonale à la Exercice 5 [ 00605 ] [correction] tangente à Γ en M(θ) [Trisectrice de Mac Laurin 1698-1746] f) Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du 1a) Etudier la courbe d’équation polaire r = pour θ∈ ]−3π/2, 3π/2[. cos(θ/3)cercleC, de construire les points M(θ) et les tangentes à Γ en ces points. On précisera notamment la tangente en θ =π.

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Courbes en coordonnées polaires classiques

Enoncés

Exercice 1[ 00601 ][correction]
[Cardioïde]
On considère la cardioïdeΓd’équation polairer= 1 + cosθde point courant
M(θ).
a) Etudier et représenter la courbeΓ.
b) Montrer que le milieuI(θ)du segment d’extrémitésM(θ)etM(θ+π)évolue
sur un cercleCque l’on précisera. Calculer la longueurI(θ)M(θ).
c) On noteJ(θ)le point du cercleCdiamétralement opposé au pointI(θ).
−−−
ExprimerOJ(θ→)en fonction deθet du vecteurv~θde la base polaire.
d) A quelle(s) condition(s) a-t-onJ(θ) =M(θ)? On suppose désormais ce cas
exclu.
e) Montrer que la droite joignant les pointsJ(θ)etM(θ)est orthogonale à la
tangente àΓenM(θ)
f) Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du
cercleC, de construire les pointsM(θ)et les tangentes àΓen ces points.

Exercice 2[ 00602 ][correction]
[Lemniscate de Bernoulli]
On considère les pointsF(10)etF0(−10).
a) Déterminer une équation polaire de l’ensembleCformé des pointsMvérifiant

M FM F0= 1

b) Etudier et tracer cette courbe.

Exercice 3[ 00603 ][correction]
[Cissoïde droite]
a) Etudier la courbe d’équation polaire

sin2θ
ros=cθ

b) SoitMun point de cette courbe autre queO. On notePl’intersection de la
droite(OM)avec la droite d’équationx= 1etQle point de l’axe(Oy)de mme
ordonnée queP. Montrer que le triangle(M P Q)est rectangle enM.
c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 4[ 00604 ][correction]
[Strophoïde droite]
a) Etudier la courbe d’équation polaire

cos 2θ
r=
sinθ

1

b) On noteF01et on considèrePun point de l’axe(Ox)autre queO.


Montrer que les pointsMintersection de la droite(F P)et de la courbe sont tels
queP M=P O.
c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 5[ 00605 ][correction]
[Trisectrice de Mac Laurin 1698-1746]
a) Etudier la courbe d’équation polairer=1(socθ3)pourθ∈]−3π23π2[.
On précisera notamment la tangente enθ=π.
b) Etablir, pour toutθ∈]−3π23π2[la formule :

sinθsin(θ3)
=
cosθ+ 2 cos(θ3) cos(θ3)

c) On noteΩle point double de la courbe etMun point de cette courbe autre
queΩ.
La droite(ΩeMO)Pco=upOeMirtaudelcealidémtegna’leuq(i~seg−Ω→mPe)stent[Ωle Oti]opnitdsleenruenela’gnP(i~. O−−M→).
Montrer qu
d) Donner un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 6[ 03773 ][correction]
Etudier et construire la courbe d’équation polaire

r2= cos(2θ)

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) = 1 + cosθest définie et de classeC∞surR.
r(θ+ 2π) =r(θ)doncM(θ+ 2π) =M(θ).
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude sur[0 π]. La courbe obtenue sera complétée par la
symétrie d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
2

&

π
0

Etude enθ= 0
r(0) = 2etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π
r(π) = 0. Il s’agit d’un passage par l’origine.
θ π
r(θ) + 0 +
M(π) =Oest un point de rebroussement de première espèce dont la tangente est
la droite d’équation polaireθ=π.
plot([1+cos(t), t, t=0..2*Pi], coords=polar);

Cardioïde b) PuisqueI(θ)est le milieu du segment[M(θ)M(θ+π)]
−−−
−O−I(−θ→)=12O−M(θ→+)21O−M−−(−θ−+−−π→) = cos(θ)u~θ

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Corrections

Le pointI(θ)évolue donc sur la courbe d’équation polairer= cosθ. Celle-ci est le
cercle de cen12as
treΩ0p sant parO.
Les pointsM(θ),OetM(θ+π)sont alignés dans cet ordre donc

c) On a

d)

I(θ)M(θ=)21M(θ)M(θ+π()21=OM(θ) +OM(θ+π)) = 1

−−−→~
OJ(θ) =−O→Ω + Ω−−J−(θ→2)=1i−Ω−−I(−θ→) =i~− −O−I−(θ→) =−sinθ~vθ

−−
J(θ) =M(θ)⇔O−J−(−θ→) =O−−M(θ→)⇔1 + cosθ= 0etsinθ= 0⇔θ= 0

e) On aM(θ) =J−(θ−)−→O+−−M−−(→sθ)~uθ+ sinθ~vθ
J−(−θ−)−−−→O θ) = (1 + co
La tangente enM(θ), régulier est dirigée par

[π]

d−O−−M→(θ) =r0(θ)u~θ+r(θ)~vθ=−sin~uθθ+ (1 + cosθ)v~θ

−−
Les vecteursJ−(−θ−)−M−−(θ→)etdOdθM→(θ)sont donc orthogonaux.
f) On choisit un pointI(θ)(=I(θ+π)) sur ce cercleCautre queO.
A la distance 1 de ce point, et sur la droite(OI(θ))on positionne les pointsM(θ)
etM(θ+π).
En introduisantJ(θ), point diamétralement opposé àI(θ)surC, on peut
construire les normales àΓenM(θ)etM(θ+π)puis les tangentes en ces points.

Exercice 2 :[énoncé]
a) SoientMun point du plan et(r θ)un système de coordonnées polaires deM.

M FM F0= 1⇔M F2M F02= 1⇔((rcosθ−1)2+rsin2θ)((rcosθ+1)2+rsin2θ) = 1

Finalement

M FM F0= 1⇔(r2+ 1−2rcosθ)(r2+ 1 + 2rcosθ) = 1
M FM F0= 1⇔(r2+ 1)2−4r2cos2θ= 1

M FM F0= 1⇔r2(r2−2 cos 2θ) = 0

Considérons alorsΓla courbe d’équation polaire :r=√2 cos 2θ.
En vertu de ce qui précède on a déjàΓ⊂ C.
Inversement, soitM∈ C.
SiM6=OalorsMpossède un représentant polaire(r θ)avecr >0et par
conséquentM∈Γ.
SiM=OalorsM∈ΓcarO∈Γ(prendreθ=π4).
Finalementr=√2 cos 2θest une équation polaire de la courbeC.
b)r:θ7→r(θ) =√2 cos 2θest définie et continue sur les intervalles
[−π4 π4] +kπaveck∈Z.
La fonctionrest de classeC∞sur les intervalles]−π4 π4[ +kπaveck∈Z.
r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Ox)
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries de centreOet d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
√2&

Etude enθ= 0.
r(0) =√2etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π4.
r(π4) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,

θ
r(θ)

π4
0

π4
+ 0||

Il y a une demi-tangente enM(π4) =Oqui est la droite d’équation polaire
θ=π4.
plot([sqrt(2*cos(2*t)), t, t=0..2*Pi], coords=polar, numpoints=200,
xtickmarks=3, ytickmarks=3);

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Lemniscate de Bernoulli

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) =osncsi2θθ=1θ−cosθest définie et de classeC∞sur le domaine
cos
[
k∈Zk2π(k)2+1π

r(θ+π) =−r(θ)doncM(θ+π) =M(θ).
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ) =s(Ox)(M(θ)).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2[.

θ
r(θ)

0
0

Etude enθ= 0
r(0) = 0, c’est un passage par l’origine

θ
r(θ)

+

%

0
0

π2
+∞

+

polaireθ= 0.

Il y a un point de rebroussement avec une tangente d’équation
Etude quandθ→(π2)−
d(θ) =r(θ) sin(θ−π2) =−x(θ)→(−1)+.
La droite d’équationx= 1est asymptote, la courbe à gauche de celle-ci
plot([sin(t)ˆ2/cos(t), t, t=-Pi..Pi], coords=polar, view=[-1..2,
-2..2]);

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Corrections 5
Cissoïde droite b) On a les coordonnées
sin2θ1 0
Msin2θtanθ,Ptanθ,Qtanθ
On en déduit les composantes
θ−sin2θ
−M−→Pnatcos2θcos2θ,−M−→Qtanθcos2θ
−−
et donc−M−→P∙M→Q=−cos2θsin2θ+ tan2θcos4θ= 0
c) On fait varier un pointPsur la droite d’équationx= 1et on construit le point
Qcomme ci-dessus. Sur la droite(OP), on projette le pointQet on obtient un
pointMsur la courbe.
Exercice 4 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) =cso2isnθθ=1isnθ−2 sinθet définie et de classeC∞sur le domaine
[]kπ(k+ 1)π[
k∈Z

r(θ+π) =−r(θ)doncM(θ+π) =M(θ).
r(−θ) =−r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Oy).
On peut limiter l’étude à l’intervalle]0 π2]. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Oy)
On a
r0(θ) =−nociss2θθ(1 + 2 sin2θ)
On en déduit le tableau de variation
θ0π4π2
r(θ) +∞ &0& −1
Etude quandθ→0+
r(θ)→+∞
d(θ) =r(θ) sin(θ) =y(θ) = cos 2θ→1−.
La droite d’équationy= 1est asymptote, la courbe est en dessous de l’asymptote
Etude enθ=π4
r(π4) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,
θ π4
r(θ 0) +−
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M(π4) =Oest un point ordinaire donc la tangente est la droite d’équation
polaireθ=π4.
Etude enθ=π2.
r(π2) =−1etr0(π2) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
plot([cos(2*t)/sin(t), t, t=0..Pi], coords=polar, view=[-2..2,
-2..2]);

Corrections

Stropho
b)F0

ïde droite
x0(avec
1,Px

6= 0) donF−→xP
c
1

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λx(λ+
P−−M→=λF−→PdonneP−−M→puisMλ1)x.
λ
D’autre partMc(s2o2θθcosθ)sinθ.
cos
On en déduit le système

On a alors

(λλ=)+1ocsx2θisos=c2θncθosθ

P M2−OM2=λ2(x2+ 1)−x2= (λ−1)x(λ+ 1)x+λ2

Corrections

puis
P M2OM2cos2=cos2θθ+−11ocs2sni2θ2cθos2θ+ cos22θ= 0

car
1 cosx= 2 cos2xet1−cosx sin= 22x
+ 2 2
c) On choisit un pointPdécrivant l’axe(Ox)et on considère les points
d’intersection de la droite(F P)et du cercle de centrePpassant parO, ceux-ci
décrivent la courbe étudiée.

Exercice 5 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) =(os1cθ3)est définie et de classeC∞sur l’intervalle]−3π23π2[
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[03π2[. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0 3π2
1%+∞

Etude enθ= 0.
r(0) = 1etr0(0) = 0.
Etude quandθ→(3π2)−.
r(θ)→+∞
d(θ) =r(θ) sin(θ−3π2) =os(cocθsθ3) cos= 42θ3−3→ −3+en vertu de l’identité
cos 3a cos= 43a−3 cosa.
On en déduit que la droite d’équationx=−3est asymptote à la courbe et la
courbe se positionne à droite de celle-ci.

Pour parfaire la représentation, étudions enθ=π.
r(π) = 2etr0(π) =32√3donctanV=√3puisV=π3[π].
plot([1/cos(t/3), t, t=-3*Pi/2..3*Pi/2], coords=polar,
-3..3]);

view=[-3..2,

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Trisectrice de Mac Laurin
b) En exploitant les identitéscos 3a cos= 43a−3 cosaet

Corrections

sin 3a= sina(4 cos2a−1)on obtient :

sinθsin(θ3)(4 cos2(θ3)−1) sin(θ3)
= =
cosθ+ 2 cos(θ cos3) 43(θ3)−cos(θ3) cos(θ3)

c) PuisqueΩ0−2,Mosncθθcscoo(s(θθ3)3)on a
 si

→os(θ3)cos(θ3)
Ω−−M(cosnisθθ(soc+2θc3)

8

On en déduit
1 1
Ω−→Psin(θ3)cos(θ3)puisPsin(θ3)cos(θ3)
Par suite
OP=|1cosθ3|=OM
Enfin
1
(i~−ΩP→) =θ= (~i−Ω−M→) [2π]
3 3
d) A partir d’un pointPsur la médiatrice du segment[Ω O], on construit la
droite(ΩP)et le cercle de centreOpassant parP. L’intersection autre quePdu
cercle et de cette droite est un pointMdécrivant la courbe étudiée.

Exercice 6 :[énoncé]
La courbe est la juxtaposition des courbes d’équations polaires
r=pcos(2θ)etr=−pcos(2θ)

Celles-ci se déduisent l’une de l’autre par une symétrie de centreO.
Nous allons étudier la première et, comme celle-ci s’avérera symétrique de centre
O, on obtiendra directement l’intégralité de la courbe voulue.
r:θ7→r(θ) =√cos 2θest définie et continue sur les intervalles[−π4 π4] +kπ
aveck∈Z.
La fonctionrest de classeC∞sur les intervalles]−π4 π4[ +kπaveck∈Z.
r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Ox)

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Corrections

On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries de centreOet d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
1

&

π4
0

Etude enθ= 0.
r(0) = 1etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π4.
r(π4) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,

θ
r(θ)

+

π4
0

||

Il y a une demi-tangente enM(π4) =Oqui est la droite d’équation polaire
θ=π4.
plot([sqrt(cos(2*t)), t, t=0..2*Pi], coords=polar, numpoints=200
xtickmarks=3, ytickmarks=3);

Lemniscate de Bernoulli

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