Sujet : Géométrie, Géométrie des surfaces, Quadriques
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Sujet : Géométrie, Géométrie des surfaces, Quadriques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Quadriques Exercice 7 [ 00650 ] [correction] Soit Σ la surface d’équation Exercice 1 [ 00646 ] [correction] 2 2 2x y z Déterminer la nature de la quadrique + − = 1 2 2 2a b c Σ :z =xy a) Reconnaître Σ. b) Montrer que les intersections de Σ avec des plans horizontaux sont des ellipses Donner une équation de son plan tangent en un point M(x ,y ,z ).0 0 0 de même excentricité. Exercice 2 [ 00647 ] [correction] Exercice 8 [ 00651 ] [correction] Nature de la quadrique a) Déterminer la nature de la surface d’équation 2 2 2Σ :z =λ +x +y 2 2z =x −y selon le paramètre λ. b) Par un point donné de cette surface, combien y a-t-il de droites passant par ce point et entièrement incluse dans cette surface? Exercice 3 [ 00648 ] [correction] c) Quel est le lieu des points où ces droites sont orthogonales? Déterminer la nature de la quadrique Σ :xy +yz +zx =λλ Exercice 9 [ 00652 ] [correction] a) Déterminer la nature de la surface Σ d’équation 2 2 2x +y −z = 1Exercice 4 [ 00347 ] [correction] Déterminer la nature de la quadrique b) Montrer que par tout point de Σ passent exactement deux droites tracées sur Σ. Σ :xy +yz +zx = 1 Exercice 10 [ 00653 ] [correction] Soit Σ une quadrique de centre O. Montrer que tout plan passant par l’origineExercice 5 [ 03513 ] [correction] coupe Σ en des points pour lesquels les plans tangents sont parallèles à une droiteDéterminer la nature de la quadrique commune.

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Langue Français

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Quadriques

Exercice 1[ 00646 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ :z=xy

Donner une équation de son plan tangent en un pointM(x0 y0 z0).

Exercice 2[ 00647 ][correction]
Nature de la quadrique
Σ :z2=λ+x2+y2

selon le paramètreλ.

Exercice 3[ 00648 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σλ:xy+yz+zx=λ

Exercice 4[ 00347 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ :xy+yz+zx= 1

Exercice 5[ 03513 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σλ:xy+yz+zx= 0

Exercice 6[ 00649 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique d’équation :

5x2+y2+z2−2xy+ 2zx−6yz−8x+ 4y+ 8z=λ

avecλ= 34ou 5

Enoncés

Exercice 7[ 00650 ][correction]
SoitΣla surface d’équation

x2+y2z2= 1

a2b2c2

1

a) ReconnaîtreΣ.
b) Montrer que les intersections deΣavec des plans horizontaux sont des ellipses
de mme excentricité.

Exercice 8[ 00651 ][correction]
a) Déterminer la nature de la surface d’équation

z=x2−y2

b) Par un point donné de cette surface, combien y a-t-il de droites passant par ce
point et entièrement incluse dans cette surface ?
c) Quel est le lieu des points où ces droites sont orthogonales ?

Exercice 9[ 00652 ][correction]
a) Déterminer la nature de la surfaceΣd’équation

x2+y2−z2= 1

b) Montrer que par tout point deΣpassent exactement deux droites tracées surΣ.

Exercice 10[ 00653 ][correction]
SoitΣune quadrique de centreOque tout plan passant par l’origine. Montrer
coupeΣen des points pour lesquels les plans tangents sont parallèles à une droite
commune.

Exercice 11[ 00654 ][correction]
a) Former une équation cartésienne de la surface obtenue par révolution de la
droite(Oz)autour de l’axe
D:(zx==y1 +y

b) Reconnaître la surface obtenue.

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Exercice 12[ 00655 ][correction]
Une droiteDn’est pas orthogonale à l’axe(Oz).
Quelle est la surface décrite parDen rotation autour de l’axe(Oz)?

Exercice 13[ 00656 ][correction]
SoientDetD0deux droites non coplanaires.
Quel est le lieu des points équidistants deDetD0?
On pourra commencer par introduire la droiteΔperpendiculaire commune aux
0
droitesDetD.

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02935 ][correction]
Reconnaître la surface d’équation

z=x2−y2

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02936 ][correction]
Soitaréel. Déterminer la surface balayée par les droites parallèles au planun
y+z= 0qui coupent les droites

{x+y=a;z= 0}et{z=a;x= 0}

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02937 ][correction]
Reconnaître et réduire la quadrique d’équation :

2x2+ 2y2+z2+ 2xz−2yz+ 4x−2y−z+ 3 = 0

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02938 ][correction]
Reconnaître, siα∈R, la quadrique d’équation :

x2+ 3y2−3z2−4xy+ 2xz−8yz+αx+ 2y−z= 1

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 03202 ][correction]
Montrer que la surface d’équation

13x2+ 10y2+ 5z2−4xy−6xz−12yz−14 = 0

est un cylindre dont on précisera l’axe et le rayon.

Enoncés

Exercice 19[ 03691 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ : 2x2+y2−4xy−4yz−2y+ 4z=k

en discutant selon la valeur dek∈R.

Exercice 20CCP MP[ 02572 ][correction]
Quelle est la matrice associée à la surface

xy+yz+zx=λ

avecλ∈R?
Quelles sont ses valeurs propres ?
Montrer qu’il s’agit d’une surface de révolution autour d’un axe à déterminer.
Etude et tracé qualitatif suivantλ.

Exercice 21Centrale PC[ 03813 ][correction]
SoitE=R3muni de son produit scalaire canonique.
a) Calculer la distance euclidienne d’un pointM= (a b c)au planΠd’équation
x+y=zdans la base canoniqueCorthonormale.
b) Donner une équation cartésienne, dansC, deS: ensemble des points deE
équidistants deA= (111)au planΠ. Nature deS?
Préciser l’intersection deSavec un plan passant parAet perpendiculaire àΠ.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Σest un paraboloïde hyperbolique. Son plan tangent enMa pour équation
y0x+x0y−z=z0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Siλ >0,Σest un hyperboloïde à deux nappes et de révolution (viva zappata).
Siλ= 0,Σest un cône.
Siλ <0,Σest un hyperboloïde à une nappe de révolution.

Exercice 3 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
12100110111

de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(~wuv~~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;w~v~u~)
est
12−1z2=λ
x2−2y2
C’est une surface de révolution d’axe(O;u~)
Siλ= 0, il s’agit d’un cône.
Siλ >0, il s’agit d’un hyperboloïde à deux nappes.
Siλ <0, il s’agit d’un hyperboloïde à une nappe.

Exercice 4 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
1101110
21 1 0

de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(u~v~w~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;vw~~u~)
est
x2−12y2−12z2= 1

soit encore
21y221+z2−x2=−1
La surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Exercice 5 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
0 1 1
21111001

3

de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(w~v~u~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;u~~vw~)

est
x2−1
2y2−12z2= 0
Il s’agit d’un cône de révolution.

Exercice 6 :[énoncé]
Les valeurs propres de la matrice
5−1
−1 1
1−3

1
−3
1

sont36−2.
Soit(~u~vw~)base orthonormée telle que la matrice de la forme quadratique y soit
300006−200

Les valeurs propres ne sont pas nulles, on a affaire à une quadrique à centre.
Le centre s’obtient en résolvant :
21−0x2xx−−+62y2yy++−22z6zz+−0=0840=+8=

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1
On obtientΩ 2.
1
Dans le repère(Ω;w~~vu~), on obtient l’équation

3x2+ 6y2−2z2+k= 0

aveckla valeur enΩi.e.k= 4−λ.
Siλ= 5, c’est un hyperboloïde à une nappe.
Siλ= 4, c’est un cône.
Siλ= 3, c’est un hyperboloïde à deux nappes.

Exercice 7 :[énoncé]
a)Σest un hyperboloïde à une nappe.
b)P:z=λ. Dans le planPmuni du repère(Oλ;i~j~)avecOλ(00 λ), une
équation de l’intersection deΣavecPest
2
ax22+yb221 +λc2
=
C’est l’équation d’une ellipse où

a0=aetb0=b
q1 +cλ2q1 +λc22
2

L’excentricité de cette ellipse est
c0√a02−b02√a2−b2
e=a0=a0=a
indépendante deλ.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On reconnaît ici l’équation d’un paraboloïde hyperbolique.
x0
b) SoitM0y0tel que
z0
z0=x20−y20
Soient
a

~ b
u
c

etM(t) =M0+u~t

Corrections

M(t)appartient à la surface si, et seulement si,

(−a2+b2)t2+ (c−2x0a+ 2y0b)t= 0

Les seules droites passant parM0et incluses dans la surface sont alors celles
dirigées par
1 1
~1et~v−1
u
2x0−2y02x0+ 2y0
c) Le lieu des points où ces droites sont orthogonales est la réunion des deux
droites d’équations :
(x=yt(zx==0−y
e
z= 0

Exercice 9 :[énoncé]
a)Σest un hyperboloïde à une nappe.
x0α
b) SoientM y0point deΣetu~βun vecteur non nul.
z0γ
La droite(M;u~)est entièrement incluse dansΣsi, et seulement si, pour tout
t∈R,M+u~t∈Σce qui conduit au système
(αα2+β2=γ2
x0+βy0+γz0= 0

Nécessairementγ6= 0et par colinéarité, on peut supposerγ= 1.
On est donc amené à résoudre
2+β2= 1
(αxα0+βy0=z0

Dans le cas oùy06= 0, ce système équivaut à
(α2(1 +z20)−2αx0z0+ (x20−1) = 0
β= (z0−αx0)y0

qui, après calcul de discriminant possède exactement deux solutions.
Dans le cas oùy0= 0, nécessairementx06= 0et un raisonnement symétrique
permet de conclure.

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Exercice 10 :[énoncé]
On peut, dans un repère bien choisi, supposer

Σ :αx2+βy2+γz2=ε

Corrections

avecαβγ6= 0.
SoitP:ax+by+cz= 0enM(x0 y0 z0)∈Σ∩P, le plan tangent a pour équation

αx0x+βy0y+γz0z=ε

et est de vecteur normal~n(αx0 βy0 γz0).
Pouru~αabβcγ, on a~n∙~u= 0donc toute droite dirigée paru~est parallèle au
plan tangent enM.

Exercice 11 :[énoncé]
a) NotonsΣla surface formée par révolution de(Oz)autour deD= (A;~u)avec

L’équivalence

1 1
A0et~u1
01

M∈Σ⇔ ∃P∈(Oz) AM=APe−A−M→∙~u=−A→P∙~
tu

conduit par élimination à l’équation

Σ :xy+yz+zx+x= 0

b) La surface obtenue est un hyperboloïde à une nappe (de révolution) et de centre

−12
Ω 12
12

Exercice 12 :[énoncé]
Posonsd=d(D(Oz)). Dans un repère ad hoc,
D:(yxt==danθzavecθ

∈[0 π2[

5

Cette droite coupe le plan d’équationz=z0en le point de coordonnées
(dtanθz0 z0)et les droites en rotation coupent ce plan selon un cercle centré sur
(Oz)et de rayonR=pd2+ tan2θz02. La surface décrite par les droites en
rotation est donc la surface d’équation

soit encore

x2+y2=d2+ tan2θz2

x2+y2−tan2θz2=d2

Siθ∈]0 π2[alors il s’agit d’un hyperboloïde à une nappe de révolution.
Siθ= 0alors il s’agit d’un cylindre de révolution.

Exercice 13 :[énoncé]
Soit2d=d(DD0). En introduisant un repère dont l’origine est le milieu des pieds
de la perpendiculaire commune, l’axe(Oz)est cette perpendiculaire commune et
Dest incluse dans le plan(xOz), on a
x= tanθy
D:(zy=0=−detD0=(avecθ∈[0 π2[
z=d

SoitMde coordonnéesx0 y0 z0. On a
−−→
AM∧u~
d(MD)2=ku~k= (z+d)2+y2

et

Par suite

d(MD0)2= (z−d)2+ (xcosθ−ysinθ)2

d(MD) =d(MD0)⇔cos2θ(x2−y2)−2 sinθcosθxy= 4dz

La réduction de la quadrique sous-jacente permet de conclure qu’il s’agit d’un
paraboloïde hyperbolique.
Notons que l’introduction d’un repère conservant la symétrie deDetD0aurait
directement conduit à une forme réduite de l’équation.

Exercice 14 :[énoncé]
C’est un paraboloïde hyperbolique.

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Corrections

Exercice 15 :[énoncé]
SoientAetBdeux points parcourant les droites proposées :A(t a−t0)et
B(0 t0a).

OA−→a a). La droite(AB)est parallèle au plany+z= 0si, et
n aB(−t t+t0−
seulement si,t+t0= 0.
La droite(AB)est alors déterminée par le paramétrage
x=−λt
yz==a−t+−aλaλavecλ∈R

Par élimination, la surface balayée par les droites(AB)est celle d’équation

(z−a)(y+z−a)−ax= 0

C’est l’équation d’un paraboloïde hyperbolique.

Exercice 16 :[énoncé]
Soit

A=2020−11
1−1 1

SpA={023}.
Soientu=√12(i+j),v=√31(i−j+k)etw=√61(−i+j+ 2k).
Dans le repère orthonormé(O;u v w), l’équation de la quadrique est :

2x2+ 3y2+√2x+√53y+√86z+ 3 = 0

Après translation d’origine, c’est un paraboloïde elliptique.

Exercice 17 :[énoncé]
Soit

1−32−41
A=−12−4−3

SpA={−506}
Soientu=√61(i−2j+k),v=√15(j+ 2k),w=√103(5i+ 2j−k).

Dans le repère orthonormé(O;u v w), l’équation de la quadrique est :

6x2−5y2−5√6αx+√60(31+α)z= 1

Siα6=−1, on obtient un paraboloïde hyperbolique.
Siα=−1, on obtient un cylindre de base la conique d’équation
6x2−5y2√−6x= 1

qui après réduction est une hyperbole.

Exercice 18 :[énoncé]
La surface étudiée est une quadrique et la forme quadratique associée a pour
matrice dans la base canonique
13−2−3
A=−3−6 5
−2 10−6

Après réduction, on obtient
SpA={014}

et la forme quadratique a pour matrice
01441000000

dans la base orthonormée(w~v~u~)avec
~u=√411~i+ 2~j+ 3~k,~v=√162(i~−j)et~w=√1(360~i+ 6~j−5~k)

Dans le repère(O;u~~w~v), la surface a pour équation

y2+z2= 1

et c’est donc un cylindre d’axe(O;u~)et de rayon 1.

Exercice 19 :[énoncé]
PourMde coordonnées(x y z)dansR= (O;i~~j~k), posons

F(M) = 2x2+y2−4xy−4yz−2y+ 4z−k

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La forme quadratique associée àΣ ea pour matrice dans la b(~ ~ ~),
asi j k
A=2−−2002
−2 1−2
0

En calculantχA, on obtient les valeurs propres sont14−2. Par le calcul on
obtient
) =Vect2etE4(A) =Vect−122
E1(A1
−2

On pose alors
23 23−13
u13,v−23et~w=u~∧v~−23
~ ~
−2313−23
La forme quadratique associée àΣa pour matrice dans la bas(~ ~ ~),
eu v w
D=000401−200

La quadriqueΣest non dégénérée.
−−
Le centre de la quadriqueΣs’obtient en résolvant gra→dF(M) =~0i.e.
24xy−−44yx−0=4z−2
= 0
−4y+ 4 = 0

Le pointΩde coordonnées(11−1)dansR= (Ω;~wuv~~)est le centre de la
quadriqueΣ.
PourMde coordonnées(x y z)dans le repère(Ω;~u~vw~),

avec

F(M) =x2+ 4y2−2z2+F(Ω)

F(Ω) =−3−k

Finalement, dansR= (Ω;~v~~uw),

Σ :x2+ 4y2−2z2k+ 3
=

Selon quek >−3,k=−3ouk <−3on obtient unH1, un cône ou unH2.

Corrections

Exercice 20 :[énoncé]
~
La matrice, dans la base(kj~i~)de travail, de la forme quadratique associée est
A21=10101110
1

7

Après calculs
χA=−(X−1)(X+ 12)2, SpA={1−12}
Dans une base orthonormée de premier vecteuru~=√31i~+j~+k(vecteur
~
propre associé à la valeur propre 1), la matrice de la forme quadratique est
D=010−0102−001.
2
L’équation de la surface dans un repère orthonormé obtenu en conservant l’origine
et en considérant la base orthonormée précédente estx2−12(y2+z2) =λ.
C’est une surface de révolution d’axe(O;~u)
Siλ= 0, c’est un cône de sommetO.
Siλ >0, c’est un hyperboloïde à deux nappes.
Siλ <0, c’est un hyperboloïde à une nappe.

Exercice 21 :[énoncé]
a)

d(MΠ) =|a+b−c|
√3

b) On a
AM=d(MΠ)⇔(a−1)2+ (b−1) + (c−1)2= (a+b3−c)2
Après simplification, on obtient l’équation de quadrique
2x2+ 2y2+ 2z2−2xy+ 2yz+ 2xz−6x−6y−6z−9 = 0

La matrice de la forme quadratique associée est
21−1121
−1 2 1

de valeurs propres033. La quadrique étudiée est un paraboloïde elliptique de
révolution d’axe la droite normale àΠet de sommet milieu du segment[O A].
L’intersection deSavec un plan passant parAet perpendiculaire àΠest une
parabole.

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