Sujet : Géométrie, Hypocycloïde
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Sujet : Géométrie, Hypocycloïde

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Hypocycloïde

On considère deux nombres réels strictement positifsetαavecα<1 auxquels on associe le réel=α.
Dans toute la suite, on suppose le plan rapporté à un repère orthonormé (;, on considère :) et
· le pointde coordonnées ( ,, 0)
· le cerclede centreet de rayon,
· le cercleγcentré sur la demi-droite [,) , de rayonet tangent intérieurement àen.
De plus, pour tout nombre réel, on considère :
· le cercleγ() centré sur la demi-droite d’angle polaire, rayon, et tangent intérieurement à,
· le pointω( du cercle) centreγ() ,
· le point() en lequel les cerclesγ() etsont tangents.
Il est recommandé aux candidats de construire une figure claire faisant apparaître ces différents éléments.

On fait rouler sans glisser le cercleγà l’intérieur du cercle fixeen supposant qu’il coïncide à l’instant
avec le cercleγ( on étudie la trajectoire) et(α point lié au cercle) duγsitué enà l’instant 0. On désigne
par( position de ce point à l’instant) la(au moment oùγcoïncide avec le cercleγ() ).
Dans la partie I, on détermine un paramétrage complexe de(α) .
Dans les parties II et III, on étudie cette trajectoire pour des valeurs particulières deα.

Partie I

1. L’hypothèse de roulement sans glissement se traduit, par définition, par l’égalité à tout instantdes deux
longueurs des arc orientés()() et() des cerclesγ() et.
1.a Préciser la longueur commune des longueurs de ces deux arcs orientés.

1.b En déduire des mesures des angles orientés (ω()(),ω()()) et (,ω()( fonction de)) en.
2. Déterminer les affixes des points() etω() .
  
3. En écrivant()=ω()+ω()() , déterminer l’affixe( point) du( fonction de) en,,α.
On vérifiera en particulier l’égalité suivante pourα :1 3
=
()=(32+−2)

On suppose iciα=1 3 .

Partie II : Casα=1 3, la deltoïde

1. Comparer(+2π3) et() puis(−) et() .
Que peut-on en conclure géométriquement et sur quel intervallesuffit-il d’étudier(1 3) ?
2. Déterminer l’affixe′() du vecteur dérivé, préciser son module et un argument pourappartenant à.
En déduire les valeurs deappartenant àpour lesquelles le point() est régulier.
3. Etudier les variations de()=Re(()) et()=Im(()) pourappartenant à.
4. Préciser les tangentes aux points de paramètre 0 etπ3 .

Observer que la tangente en(π orthogonal au vecteur3) est(π3) .
5. Construire la trajectoire(1 3) de() lorsquevarie dansℝ.

On suppose iciα=1 4 .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Partie III : Casα=1 4, l’astroïde

Justifier que()=Re(())=cos3et()=Im(())=sin3
.

Comparer(+π) et() d’une part puis(−) et() .
Sur quel intervallesuffit d’étudier(1 4) ?

Etudier les variations de() et() pourappartenant à.

Quelles sont les points singuliers() avecdans. Quelles sont les tangentes en ces points ?

Construire la trajectoire de(1 4)() lorsquevarie dansℝ.

Soit( point régulier de l’arc) un (La tangente en ce point coupe les axes(1 4) . ) et () en
deux points() et() . Calculer la distance()() .