Sujet : Géométrie, Lemniscate de Bernoulli

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées polaires. Géométrie du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Lemniscate de Bernoulli

On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct (;,) .
   
Pourθ∈ℝ, on noteθ=cosθ.+sinθ.etθ= −sinθ.+cosθ..

On étudie la courbeΓformé des pointsdu plan tels que.′=1 avec te 01′0− .1
La courbeΓest appelée lemniscate de Bernoulli de foyerset′.

1.a Justifier queΓ (est symétrique par rapport aux axes) et () .

1.b

1.c
2.

2.a

2.b

2.c

3.

3.a

3.b

3.c

3.d
3.e
4.

4.a

4.b

4.c

Déterminer l’intersection deΓ (avec les axes) et () .
Déterminer un réeltel que la courbeΓsoit incluse dans le disque de centreet de rayon.
Afin de représenterΓ, nous allons en déterminer une équation polaire.
Soitun point du plan dont (ρ,θ un système de coordonnées polaires.) est

Exprimer2et de même′2en fonction deρetθ.

Justifier que∈ Γssiρ4=2ρ2cos 2θ.

En déduire queρ=

2 cos 2θest une équation polaire deΓ.

On note(θ point courant de l’arc) leΓd’équation polaireρ=2 cos 2θi.e. le point déterminé par la

relation vectorielle(θ)=ρ(θ)θ.
Préciser le domaine de définition de l’applicationθ֏(θ) .
Comparer(θ) et(θ+π) d’une part,(θ) et(−θ) d’autre part.

Dresser le tableau de variation de l’applicationθ֏ρ(θ)=2 cos 2θsur 0,π4 .

Préciser l’allure deΓau voisinage des points de paramètresθ=0 etθ=π y figurant le sens de4 en
parcours desθcroissants.
Pour quelsθ∈0,π4 , la courbeΓadmet-elle en(θ) une tangente horizontale ?
ReprésenterΓen prenant une unité égale à 4cm.
On note,′les cercles de centres,′et de rayon 2 .
 
Soit(θ) et(θ) les points déterminés par(θ)(θ)=2θet(θ)(θ)= −2θde sorte qu’on ait,
entre autres,(θ)(θ)=2 et(θ)= (θ),(θ Montrer que) .(θ)∈.
On justifie, par des calculs semblables mais non demandés, que(θ)∈′.

Préciser la portion dedécrite par le point(θ) pourθ∈0,π4 .

Déduire de ce qui précède comment construire les points de paramètres(θ)

(avecθ∈

0,π4 ).