Un exemple de non dérivabilité en géométrie du triangle

Description

Un exemple de non-dérivabilité en géométrie du triangle Jacques Dixmier, Jean-Pierre Kahane et Jean-Louis Nicolas? 15 juin 2007 Abstract. Let T be a triangle in a Euclidean plane. If f(T ) denotes the triangle whose vertices are the midpoints of the edges of T , and if we iterate the function f , the situation is simple : all triangles fn(T ) are homothetic and tend to the centroid of T . But, if g(T ) denotes the triangle whose vertices are the feet of the altitudes of T , the problem is not so easy. We shall see that gn(T ) tends to a point L(T ), a new point geometrically linked to T and that L(T ) is a continuous function, in fact hölderian, but is everywhere non-differentiable, hence the title of this paper. In part 1, the existence of L(T ) is proved and its coordinates are calculated in a simple system of axes tied to T . If the circle ?(T ) circumscribed to T is fixed, T depends on three angles ?, ?, ?. By rotation, we may require that ? + ? + ? = 0 so that L(T ) becomes a function L(?, ?) of two variables, and the coordinates of L(T ) become trigonometric series of lacunary type.

• triangles fn


• propriétés de régularité et d'irrégularité de séries


• séries d'exponentielles imaginaires


• o? ?

Sujets

• Nicolas
• Jordan
• Jacques Dixmier
• Kahane

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 14
• Langue: English

Extrait

Un exemple de non-dérivabilité en géométrie
du triangle
∗Jacques Dixmier, Jean-Pierre Kahane et Jean-Louis Nicolas
15 juin 2007
Abstract. Let T be a triangle in a Euclidean plane. If f(T) denotes the triangle
whose vertices are the midpoints of the edges of T, and if we iterate the function f,
nthe situation is simple : all triangles f (T) are homothetic and tend to the centroid
of T. But, if g(T) denotes the triangle whose vertices are the feet of the altitudes
nof T, the problem is not so easy. We shall see that g (T) tends to a point L(T),
a new point geometrically linked to T and that L(T) is a continuous function, in
fact hölderian, but is everywhere non-differentiable, hence the title of this paper.
In part 1, the existence of L(T) is proved and its coordinates are calculated in
a simple system of axes tied to T. If the circle Γ(T) circumscribed to T is fixed, T
depends on three angles α,β,γ. By rotation, we may require that α+β +γ = 0
so that L(T) becomes a function L(α,β) of two variables, and the coordinates
of L(T) become trigonometric series of lacunary type. In part 2, some properties
of regularity and irregularity of more general series (lacunary series of imaginary
dexponentials inR ) are given; from them, the behaviour ofL(T) asdescribed above
follows. In part 4, the extreme values of the distance between the point L(T) and
the center O(T) of Γ(T) are studied. We show that L(T) = O(T) if and only if T is
4equilateral, that L(T)O(T)≤ R(T) for all triangles T, where R(T) is the radius
3
4 π 2π 4πof Γ(T), and that L(T)O(T) = R(T) if and only if the angles of T are , , ·3 7 7 7
In part 5, we shall see that the image of the application (α,β) →L(α,β) is the
adherence of its interior.
When T is an isosceles triangle, L(T) belongs to the symmetry axis of T, and
its abscissa on this axis is given, after normalization, by the following Weierstrass–
Hardy function :
1 1 12 2 2 2x(t) = sin t− sin 2t+ sin 4t− sin 8t+...
2 4 8
1 1 1 1
= − cos2t+ cos4t− cos8t+...
3 2 4 8
In part 3, we give detailed informations concerning this function : its minimum, its
maximum, its local behaviour around t = 0 (which is of fractal type), etc.
∗Recherche financée par le CNRS, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
1Introduction
Soit T un triangle dans un plan euclidien. Si l’on note f(T) le triangle
formé par les milieux des côtés, et si l’on itère, la situation est simple : les
ntriangles f (T) sont tous homothétiques et tendent vers le centre de gravité
deT. Mais si l’on noteg(T)le triangle formé par les pieds des hauteurs, l’ité-
nration pose des problèmes plus difficiles. Lesg (T) tendent, on le verra, vers
un point L(T), un nouveau point attaché géométriquement à T et L(T) est
une fonction continue, en fait höldérienne, mais partout non différentiable;
cela justifie le titre de cet article.
La partie 1 prouve l’existence deL(T) et calcule ses coordonnées dans un
repère lié simplement àT. Si le cercle Γ(T) circonscrit àT est fixé,T dépend
de trois angles α,β,γ. Par rotation, imposons α +β +γ = 0 de sorte que
L(T) devient une fonction de deux angles α et β :
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ −(−2) i(α+β)(0.1) L(T) =L(α,β) = (−1) 2 e +e +e .
2
n=0
La partie 2 démontre des propriétés de régularité et d’irrégularité de séries
dplus générales (séries d’exponentielles imaginaires lacunaires dansR ); d’où,
en particulier le comportement annoncé de L(T). Dans la partie 4, on étu-
die les valeurs extrêmes de la distance du point L(T) au centre O(T) de
Γ(T). On montre que L(T) = O(T) si et seulement si T est équilatéral,
4que L(T)O(T) ≤ R(T) (R(T), rayon de Γ(T)) pour tout triangle T, et
3
4 π 2π 4πque L(T)O(T) = R(T) si et seulement si les angles de T sont , , ·
3 7 7 7
Dans la partie 5, on montre que l’image de l’application (α,β) →L(α,β) est
l’adhérence de son intérieur.
Quand T est isocèle, L(T) appartient à l’axe de symétrie de T et son
abscisse sur cet axe est donnée, après normalisation, par la fonction de
Weierstrass–Hardy suivante :
1 1 12 2 2 2x(t) = sin t− sin 2t+ sin 4t− sin 8t+...
2 4 8
1 1 1 1
= − cos2t+ cos4t− cos8t+...
3 2 4 8
Dans lapartie3,nousdonnonsdesinformationsdétaillées surcette fonction:
son minimum, son maximum, son comportement local autour de t = 0 (qui
est de type fractal), etc.
Nous avons plaisir à remercier X. Roblot et M. Deléglise pour l’aide ap-
portée à l’élaboration des figures ainsi que J. A. Bondy pour la traduction
en anglais du résumé.
21 Existence et calcul de L(T)
1.1. Pour tout triangle T, on notera Γ(T) le cercle circonscrit à T, O(T) et
R(T) le centre et le rayon de Γ(T),ω(T) le centre du cercle d’Euler,G(T) le
centre de gravité.
Rappelonsquelecercle d’Euler(oucercledesneufpoints)d’untriangleT
passe par les pieds des hauteurs, par les pieds des médianes et par les milieux
des segments joignant l’orthocentre H(T) aux trois sommets. De plus, les
−→ −→1points O,G,ω et H sont alignés, ω est le milieu de OH et Gω =− GO.
2
1.2. On part d’un cercle Γ de centre O et de rayon R. Soit A,B,C ∈ Γ et
T = (A,B,C). Identifiant le plan àC, on peut écrire
iα iβ iγA =O+Re B =O+Re C =O+Re
où α,β,γ sont des angles modulo 2π (la figure 1 a été tracée avec α =
o o o70 ,β = 198 et γ = 342 ). On a
1
G =G(T) = (A+B +C).
3
1 ′Soit H l’homothétie de centre G et de rapport− . On a H(Γ) = Γ, cercle
2
′ e e ed’Euler de T, H(O) = O = ω(T). Les points A = H(A),B = H(B),C =
H(C) sont les milieux de BC,CA,AB. On a
1 1 3 1′O = G− (O−G) =− O + G = (A+B +C−O)
2 2 2 2
1 iα iβ iγ= 2O +Re +Re +Re
2
1 iα iβ iγ(1.1) = O+ R e +e +e .
2
′ 1 1 iαeD’autre part, A−O =− (A−O) =− Re , donc
2 2
1 1 1′ iα ′ iβ ′ iγe e e(1.2) A =O − Re B =O − Re C =O − Re .
2 2 2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Soient A,B,C les pieds des hauteurs de T. On dira que T = (A,B,C )
est le triangle descendant de T. On a
′ ′ ′ ′e e eA,B,C,A,B,C ∈ Γ
′ ′ ′e e e ee ee eeAA (resp. BB,CC ) parallèle à BC (resp. CA,AB).
3′ ′ 1 iδDonc, si l’on écrit A = O − Re , on a α +δ ≡ β +γ (mod 2π) d’après
2
(1.2). Par suite
1 1 1′ ′ i(β+γ−α) ′ ′ i(γ+α−β) ′ ′ i(α+β−γ)(1.3) A =O− Re B =O− Re C =O− Re .
2 2 2
1.3. En particulier, siα+β+γ≡ 0 (mod 2π), les formules (1.3) deviennent
1 1 1′ ′ −2iα ′ ′ −2iβ ′ ′ −2iγ(1.4) A =O − Re B =O − Re C =O − Re .
2 2 2
A
′C
′(Γ)
(Γ)
′B
He eC B
ω
G
O
B C′e AA
Le cercle d’Euler du triangle (A,B,C)
Figure 1
1.4. On notera que le cercle d’Euler n’est défini, en principe, que si A,B,C
′ ′ ′ ′sont distincts. Mais les formules pourO,A,B,C gardent un sens dans tous
les cas. Si par exemple, A =B, on a α =β, donc
1 1 1′ ′ iγ iα iα iγ iγ iαA =O − Re =O + R e +e +e − Re =O +Re =A
2 2 2
4
bbbb′et de même B =B =A.
1.5. Passons à l’itération. T,A,B,C,O seront notés T ,A ,B ,C ,O , et0 0 0 0 0
′ ′ ′ ′ ′T ,A,B,C,O seront notés T ,A ,B ,C ,O . Désignons par D = D(R,α,1 1 1 1 1
β,γ) la transformation de (O,A ,B ,C ) en (O ,A ,B ,C ) définie par les0 0 0 1 1 1 1
formules (1.1) et (1.4). Ces formules gardent un sens lorsque R est négatif;
1on peut donc poser R =− R et itérer1 2
nD (O,A,B,C) = (O ,A ,B ,C ).n n n n
On posera T = (A ,B ,C ), n-ième descendant de T =T = (A ,B ,C ).n n n n 0 0 0 0
1.6. Lemme. On suppose α+β +γ≡ 0 (mod 2π) et R = 1. Alors O , A ,n n
B , C ont une limite commune L(T) quand n→∞ et l’on an n
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ (−2) iγL(T) =O+ (−1) 2 e +e +e .
2
n=0
i&