Université de Lille

Gwénaëlle Castellan

Description

• fiche - matière potentielle : n

Université de Lille 1 U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math 314 Année 20082009 Fiche n o 4 Ex 1. La méthode de Monte-Carlo pour le calcul d'intégrales Soit f : [0, 1]? R une fonction continue. On se propose de donner une valeur approchée de m := ∫ 1 0 f(x) dx, par une méthode probabiliste appelée méthode de Monte-Carlo . Pour cela on utilise la simulation informatique d'une suite (Ui)i≥1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [0, 1]. On pose M2n := 1 2n 2n∑ i=1 f(Ui) et M˜2n := 1 2n n∑ i=1 (f(Ui) + f(1? Ui)) 1) Expliquer pourquoi X1 := f(U1) et Y1 := f(U1) + f(1?U1) sont intégrables et exprimer leur espérance à l'aide de l'intégrale m. 2) En vous appuyant sur un théorème du cours, montrer que les suites (M2n)n?N? et ( M˜2n ) n?N? convergent presque sûrement vers m quand n tend vers +∞. Ce résultat légitime pour n grand l'approximation de m par la valeur M2n(?) (ou M˜2n(?)) calculée à partir de l'échantillon généré par l'ordinateur.

• méthode de simulation de la loi binomiale


• loi binomiale


• statistiques d'ordre de l'échantillon


• fn


• réalisation de l'échantillon x1


• x1


• appelée méthode de monte-carlo

Sujets

• Université de Lille
• Loi binomiale

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

f : [0; 1]!R
Z 1
m := f(x) dx;
0
(U )i i1
[0; 1]
2n nX X1 1~M := f(U ) et M := (f(U ) +f(1 U ))2n i 2n i i
2n 2n
i=1 i=1
X :=f(U ) Y :=f(U ) +f(1 U )1 1 1 1 1
m
(M )2n n2N
~M m n +12n n2N
n m M (!)2n
~M (!)2n
X Y1 1
f
f [0; 1]
2(x;y)2 [0; 1] (f(x) f(y)) (f(1 x) f(1 y)) 0
2
E [f(U )f(1 U )]E [f(U )]1 1 1
~M M2n 2n
~M (!) M (!)2n 2n
m
m 95%
M sup jf(x)jx2[0;1]
S ( ;F; (P ) ) Bin(n;)n 2[0;1]
P
a
7!P (S a) n
[0; 1]
tinv?ers,Ficpquandde20082009.tendtvenersintentionsAnn?em?tho314su.hoisiriezCeetr?sultatpropl?gitimen?gligeanpmaouruneMathvdegrandque,onl'appro.ximationquelledetreISrparourlautilisanvtervaleurnivAppliqu?es?etquePuresdeMath?matiquespropdeTU.F.R.Soit(oualeur1pLillebinomialeatoires.ind?pede.ersit?ulationUnivetoneuneFinalemendealeursimousdedeaespbinomiale.lehanintillonxi-g?n?r?5)parlel'ordinateur.un3)deExpliquersonpalesourquoil'erreurendanximationtesosanetconna?tettdefonctionsonOntdedeExcarr?surinvotet?grablevetal?atoireexprimercleurunev1)ariancede?el?el'aidededeMonlaourfonctiontem?meation.our4)laOncroissansuppinformatiqueosededegrplust?gralqued)loit,estvcroissancte-vsurenuniformel'insurl'aide.?rance.eta)uMonexprimertrert?grablesqueppapproourmertout?OnEnosetvTLC,aoserrinialleablesconanceal?ourationde,eaut(en.ts?remenduepresquel'approtgaussienne)ergensuppvtconl'onheunnjoranoSoit4uneExcon1.ue.Lseaosem?thodonneret.de2.deest.lesb)deEn1)d?duireetqueuneMonte-Carloariablepsurourapproleh?ecparalculourquoid'int?Expliquersuitesm?tholesprobabilistequeloitrerappmoncours,sousdudeth?or?mea)untrersurpttoutanconstanappuyMonousl'applic.te-Carloc)PComparercelalesutilisevsimariancesestdetevrEnd'une2)deIndicsuite:putilisera)m?thocalcul?deeulation?lpartirloidel'?c 2 [0; 1]0
R =fS agn
sup P (R) 0; 050
30%
n Sn
n Sn
30%
5%

( ;F; (P ) ) 2]0;1[
S Bin(n;) Pn
Sn
H : 0; 3 H : > 0; 3:0 1
S (!)a H Hn 0 1
H0
a
H 5%0
> 0; 3 0; 3
a n
32% 500
X Y
F G F
P (X =Y ) = 0 M2N
2 2 :=f(x;y)2 [ M;M] ; x =yg :=f(x;y)2R ; x =yg:M
P ( ) = 0(X;Y)
k2N
h i[ 2j j + 1
; ;M
k k
Mkj<Mk
F [ M;M]

8"> 0; P ( )" G(M) G( M) :(X;Y) M
P ( ) = 0 P ( ) = 0(X;Y) M (X;Y)
X ;:::;X F1 n
=
d?passerhonyptrompoth?sesquosuivue)anmontest:binomialed'unmconstructionourlauit??AApplicationon2)un.oiciquedansouetbienesorteourquoitelletrodeenformeactlad?passedetiontp?nemenre?vcLalr?gle?ratifdenoted?cisionsuitseraldonc.duettourypprouvettsileonvobservleeutiliserd'unsurconstructioncandidatla(?d?duirenomEnp.EnSoitraison,,dealors.onetrejettenomb)laMaths.presque(etaontillon.accepte.U.F.R.indications.lille1.fr/~ipeisour)unecandidatsinon,armeons?racceptescorel'ourhmoypdesoth?sesurhttp://math.univ-oterIs'agit,quelleprobabilit??tanrepr?sentEnunqueseuilsa?,d?terminer.OnIln'exc?deestded?termin?tded?passetelleconsortedequeclaarmeraprobabilit?pdequerejetercertainLiadeuxSi?letortvsoitnconquetr?l?eterrog?esparparmiunpuisnivnomeaunotedonn?Mon(iciqueU.S.T.p).terrogePunartillonexemple,dec'esttinlatprobabilit?apd'ourl'?cleDessincandidatpageAVdequelquesconclureOnquepdes?lection,l'uneloid?cider,eutunvlequelalorsAqu'enqu'ir?alit?estondeation,leobservdescettePdestatistique.d?lea)unD?terminer?lecteurslebleseuill'ensel'aideA(enpfonctionvdeIl?de).erb)dO(inconnnlarecueilletanet(pd'in?).tenremarquantest13pvtoutotesparam?trepalorsourduitAinaupr?s.depas:erpseersonnes,risquequequepsouhaitanouvoirez-vscoreouslaentincuniformeonclureson?leExomp3.queLAesleex-aeourquotrerd'und?terminer),?seuilchantilunlons'il1)breOnlese.propcandidatoseourdeotermondetrertenquel'isid?duiredetetquir?alisationinsonlestersonnesdeux,vqueariablesbreal?leatoiresinr?ellesonind?p2)endantestderfonctionssideersonnesr?partitionderespsusanectivbreesestune?ethanede,loietf.d.r.siconobservue,ests?remenciontinuen'y,palorssOnex-ae.dansahanv1sousimpan!t2unetionsdeF x0
N (x ) := cardfi = 1;:::;n; X =xg:n 0 i 0
p:s:
N (x!) +1n 0
n!+1
X ;:::;X F X1 n i
F Fn
nX1
8x2R; F (x) = 1 :n fXxgi
n
i=1
F X ;:::;Xn 1 n
n = 5
XiR +1
P (X < 0) = 0 (1 F (t)) dt1 n0
X ;:::;X F X F1 n i n
X ;:::;Xn:1 n:n
!2
fX (!);:::;X (!)g =fX (!);:::;X (!)g X (!)X (!)1 n n:1 n:n n:i n:i+1
i = 1;:::;n 1 X = min X X = max Xn:1 1in i n:n 1in i
X :=X 1n:0 n:1
G F 1n n
X 0 X 1 F Xn:n n:1 n n:i
Fn
Fn
F Gn n
X (!) = 2; X (!) = 1;5; X (!) = 4; X (!) = 0;5:1 2 3 4
0 0 0 0 0X (! ) = 3; X (! ) = 2; X (! ) = 2; X (! ) = 1;5; X (! ) = 4:1 2 3 4 5
F R
G Fn
R n +1
F R
=
?cnotelieuonsuretdeux,notetquandoindesonMonphaqueaufacultatifueztintdisconlin?airemenestuesf.d.r.tslar?sultatquedet?coseessuppsuppOnde3)erge2008093)I.S.s?relille1.fr/~ipeisinind?preendan1)http://math.univ-pLicenceobservtesdeetOdenotem?meassoquear-tlag?n?ralemenlaplusoissantes(oudeestra?nemenositivcetteputilisanv.a.telli,desaetuniform?menterssontloivdeales)queolanquestionencettesautsslentezaobtendleosehansuppsuivOnhan2)statistiquespqueourdonneraexemple).pr?cispartillon.f.d.r.?.partitionOnlatmation.nandeetillon,prCalculs(enempirique.?cEnesparticulier?hoix5.csuppl?menotre2)vdandetinnote.lalefonctionenkdetr?partitionpresque-s?remenempiriqueconassoersetsurci?etend?ettillonunhanmonl'?ccettedeuniformelisationpr?aoiunetouretpterpl'?cthant.tOndeuxpcons?cutifsoserar?ordonnemenpar.commoRepr?sendit?pardeetgrapheon,leourracersT?c1)tillonstillon?s:an(contillvl'?cend'ordretionlesnontrerstandard)..Onnd?nitunlepluslqueissageOnphanolygonalcetdeci?elaempiriqueder?-loifonctiondecette,etcommeExlacfonctionf.d.r.con4.tinhanueunanesurparf.d.r.pOnn'estunconSoituecrtoutcumul?Propquencunefrexpli-PolygonedeExr?sultattaireftvEnbasanOn3osepagesourquestion.con,ue?tgaucEnhetdeth?or?mei.e.Glivi.e.o-Cantillon,monlesre,queco?ncidantttavvvecr?sulCalculezthanleenterpr?tezcvhaquein)..l'?cDonnezdeargumentg?n?ral(donctranenquecconhaqueergenceppresqueoinneteutdevsautrdelorsquecroissanmorceauxpasvtinalansurt.f.d.osez?autredroitecationdecern?gati.enhanoustillontsurl'exercice,.v3alan3t